Номер 4.22, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.22. Образом точки $M (2; 3; -5)$ при гомотетии с центром $A (1; 0; -1)$ является точка $M_1 (4; 9; -13)$. Найдите прообраз $K$ точки $K_1 (16; -21; 2)$ при этой гомотетии.

Гомотетия с центром в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и коэффициентом $k$ переводит точку $P$ в точку $P_1$ согласно векторному равенству $\vec{AP_1} = k \cdot \vec{AP}$.

Сначала найдем коэффициент гомотетии $k$, используя данные для точек $M(2; 3; -5)$ и ее образа $M_1(4; 9; -13)$ с центром гомотетии в точке $A(1; 0; -1)$.

Вычислим координаты векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AM_1}$:

$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A; z_M - z_A) = (2 - 1; 3 - 0; -5 - (-1)) = (1; 3; -4)$.

$\vec{AM_1} = (x_{M_1} - x_A; y_{M_1} - y_A; z_{M_1} - z_A) = (4 - 1; 9 - 0; -13 - (-1)) = (3; 9; -12)$.

Из равенства $\vec{AM_1} = k \cdot \vec{AM}$ следует $(3; 9; -12) = k \cdot (1; 3; -4)$.

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 3 = k \cdot 1 \\ 9 = k \cdot 3 \\ -12 = k \cdot (-4) \end{cases}$

Из каждого уравнения следует, что коэффициент гомотетии $k = 3$.

Теперь необходимо найти прообраз $K(x; y; z)$ точки $K_1(16; -21; 2)$ при этой же гомотетии. Это означает, что точка $K_1$ является образом точки $K$.

Для точек $K$ и $K_1$ выполняется аналогичное векторное равенство: $\vec{AK_1} = k \cdot \vec{AK}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AK_1}$ и $\vec{AK}$:

$\vec{AK_1} = (16 - 1; -21 - 0; 2 - (-1)) = (15; -21; 3)$.

$\vec{AK} = (x - 1; y - 0; z - (-1)) = (x - 1; y; z + 1)$.

Подставим известные значения в равенство $\vec{AK_1} = k \cdot \vec{AK}$:

$(15; -21; 3) = 3 \cdot (x - 1; y; z + 1)$.

Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений для координат:

$\begin{cases} 15 = 3(x - 1) \\ -21 = 3y \\ 3 = 3(z + 1) \end{cases}$

Решим эту систему, чтобы найти координаты $(x; y; z)$ точки $K$:

Из первого уравнения: $15 = 3x - 3 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$.

Из второго уравнения: $y = \frac{-21}{3} \Rightarrow y = -7$.

Из третьего уравнения: $3 = 3z + 3 \Rightarrow 3z = 0 \Rightarrow z = 0$.

Таким образом, координаты прообраза $K$ равны $(6; -7; 0)$.

Ответ: $K(6; -7; 0)$.