Номер 4.16, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.16. Лежат ли на одной прямой точки:

1) $A (5; 6; -4)$, $B (7; 8; 2)$ и $C (3; 4; 14)$;

2) $D (-1; -7; -8)$, $E (0; -4; -4)$ и $F (2; 2; 4)$?

1) A(5; 6; -4), B(7; 8; 2) и C(3; 4; 14);

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), были коллинеарны.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность соответствующих координат точек B и A:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (7 - 5; 8 - 6; 2 - (-4)) = (2; 2; 6)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$ вычисляются как разность соответствующих координат точек C и A:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (3 - 5; 4 - 6; 14 - (-4)) = (-2; -2; 18)$.

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, выполняется ли это условие:
$\frac{-2}{2} = \frac{-2}{2} = \frac{18}{6}$

Вычислим значения этих отношений:
$\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{18}{6} = 3$

Так как $-1 \neq 3$, условие пропорциональности не выполняется. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, а значит точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: не лежат.

2) D(-1; -7; -8), E(0; -4; -4) и F(2; 2; 4)?

Аналогично первому пункту, проверим, лежат ли точки D, E и F на одной прямой. Для этого определим, коллинеарны ли векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$.

Найдем координаты векторов:
$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (0 - (-1); -4 - (-7); -4 - (-8)) = (1; 3; 4)$.
$\vec{DF} = (x_F - x_D; y_F - y_D; z_F - z_D) = (2 - (-1); 2 - (-7); 4 - (-8)) = (3; 9; 12)$.

Проверим условие коллинеарности векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ через пропорциональность их координат:
$\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{12}{4}$

Вычислим значения отношений:
$\frac{3}{1} = 3$
$\frac{9}{3} = 3$
$\frac{12}{4} = 3$

Поскольку все отношения равны $3$, координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ коллинеарны, а значит точки D, E и F лежат на одной прямой.

Ответ: лежат.