Номер 4.20, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $E$ — середина ребра $CC_1$, точка $F$ — середина ребра $AD$. Выразите вектор $\overrightarrow{EF}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через заданные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом разности векторов. Вектор $\vec{EF}$ можно представить как разность векторов, проведенных из какой-либо общей точки (например, из вершины A) к точкам F и E:

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE}$

Теперь найдем каждый из векторов $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, выразив их через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Сначала найдем вектор $\vec{AF}$. По условию, точка F является серединой ребра AD. Это означает, что вектор $\vec{AF}$ сонаправлен вектору $\vec{AD}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом, получаем:

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Далее найдем вектор $\vec{AE}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов (правило многоугольника), построив путь из точки A в точку E через ребра куба: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CE}$.
Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то противолежащие стороны его граней параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$ ($\vec{BC} = \vec{AD}$).
Точка E — середина ребра $CC_1$, поэтому $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$. Также в кубе боковые ребра параллельны и равны, следовательно, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.
Отсюда получаем, что $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.
Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Теперь, имея выражения для $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, подставим их в исходную формулу для $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} - (\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB} - \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{EF} = -\vec{AB} + (\frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AD}) - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{EF} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{EF} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$