Номер 4.19, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.19. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Решение

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A:

$\vec{a} = \vec{AB}$
$\vec{b} = \vec{AD}$
$\vec{c} = \vec{AA_1}$

Наша цель — выразить вектор $\vec{MK}$ через эти базисные векторы.

Вектор $\vec{MK}$ можно представить как разность векторов, проведенных из некоторой общей точки (например, A) к точкам K и M, по правилу вычитания векторов:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM}$

Теперь найдем выражения для векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ через базисные векторы.

1. Выражение для вектора $\vec{AM}$

Точка M является серединой ребра $A_1B_1$. Выразим вектор $\vec{AM}$ по правилу многоугольника, следуя по ребрам из A в M, например, по пути $A \rightarrow A_1 \rightarrow M$:

$\vec{AM} = \vec{AA_1} + \vec{A_1M}$

Поскольку M — середина $A_1B_1$, то $\vec{A_1M} = \frac{1}{2} \vec{A_1B_1}$.

В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{A_1M} = \frac{1}{2} \vec{a}$.

Вектор $\vec{AA_1}$ по нашему определению равен $\vec{c}$.

Подставляя найденные выражения, получаем:

$\vec{AM} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a}$

2. Выражение для вектора $\vec{AK}$

Точка K является серединой ребра $CC_1$. Выразим вектор $\vec{AK}$, следуя по пути $A \rightarrow C \rightarrow K$:

$\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK}$

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу параллелограмма для векторов:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Поскольку K — середина $CC_1$, то $\vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{CC_1}$.

В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Следовательно, $\vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{c}$.

Подставляя найденные выражения, получаем:

$\vec{AK} = (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

3. Нахождение вектора $\vec{MK}$

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ в формулу для $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}) - (\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{c})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{c}$

$\vec{MK} = (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{a}) + \vec{b} + (\frac{1}{2} \vec{c} - \vec{c})$

$\vec{MK} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

Заменим $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на исходные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2} \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$