Номер 4.21, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.21. Образом точки $B(3; -4; 1)$ при гомотетии с центром $A(-1; 2; 9)$ является точка $B_1(-2; 3; 5; 11)$. Найдите образ $C_1$ точки $C(19; -6; 37)$ при этой гомотетии.

Гомотетия с центром в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и коэффициентом $k$ преобразует любую точку $P(x_P; y_P; z_P)$ в точку $P_1(x_{P_1}; y_{P_1}; z_{P_1})$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{AP_1} = k \cdot \vec{AP}$.

В координатной форме это записывается как система уравнений:

$x_{P_1} - x_A = k(x_P - x_A)$

$y_{P_1} - y_A = k(y_P - y_A)$

$z_{P_1} - z_A = k(z_P - z_A)$

Решение задачи состоит из двух шагов: сначала мы найдем коэффициент гомотетии $k$ по известным точкам $A, B$ и $B_1$, а затем, используя этот коэффициент, найдем образ точки $C$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии k

По условию, образом точки $B(3; -4; 1)$ при гомотетии с центром $A(-1; 2; 9)$ является точка $B_1(-2; 3,5; 11)$. Используем формулу гомотетии для этих точек: $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB}$.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - (-1); -4 - 2; 1 - 9) = (4; -6; -8)$

$\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A) = (-2 - (-1); 3,5 - 2; 11 - 9) = (-1; 1,5; 2)$

Теперь запишем векторное равенство $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB}$ в координатах:

$(-1; 1,5; 2) = k \cdot (4; -6; -8)$

Это соответствует системе трех уравнений:

$-1 = 4k$

$1,5 = -6k$

$2 = -8k$

Из первого уравнения находим $k = -\frac{1}{4}$. Проверим, удовлетворяет ли это значение двум другим уравнениям:

$1,5 = -6 \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$ (верно)

$2 = -8 \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{8}{4} = 2$ (верно)

Таким образом, коэффициент гомотетии $k = -1/4$.

2. Нахождение образа $C_1$ точки $C$

Теперь нам нужно найти образ $C_1(x_1; y_1; z_1)$ точки $C(19; -6; 37)$ при гомотетии с тем же центром $A(-1; 2; 9)$ и найденным коэффициентом $k = -1/4$.

Используем ту же формулу: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (19 - (-1); -6 - 2; 37 - 9) = (20; -8; 28)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$, умножив $\vec{AC}$ на $k = -1/4$:

$\vec{AC_1} = -\frac{1}{4} \cdot (20; -8; 28) = (-\frac{20}{4}; \frac{8}{4}; -\frac{28}{4}) = (-5; 2; -7)$

Координаты вектора $\vec{AC_1}$ также выражаются как $(x_1 - x_A; y_1 - y_A; z_1 - z_A)$. Приравняем их к найденным значениям, чтобы найти координаты точки $C_1$:

$x_1 - (-1) = -5 \implies x_1 + 1 = -5 \implies x_1 = -6$

$y_1 - 2 = 2 \implies y_1 = 4$

$z_1 - 9 = -7 \implies z_1 = 9 - 7 \implies z_1 = 2$

Следовательно, искомая точка $C_1$ имеет координаты $(-6; 4; 2)$.

Ответ: $C_1(-6; 4; 2)$.