Номер 4.27, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.27. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ADB пересекаются в точке E, а медианы грани BDC — в точке F.

1) Докажите, что $\vec{EF} \parallel \vec{AC}$.

2) Выразите вектор $\vec{EF}$ через вектор $\vec{AC}$.

1) Докажите, что $\overrightarrow{EF} \parallel \overrightarrow{AC}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выберем вершину D тетраэдра в качестве начала отсчета. Тогда положение остальных вершин можно задать радиус-векторами $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{DC}$.

Точка E является точкой пересечения медиан (центроидом) грани ADB. По свойству центроида, его радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. Таким образом, радиус-вектор точки E относительно точки D равен:
$\overrightarrow{DE} = \frac{\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DD}}{3} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB})$.

Аналогично, точка F является центроидом грани BDC. Ее радиус-вектор относительно точки D равен:
$\overrightarrow{DF} = \frac{\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD}}{3} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC})$.

Выразим вектор $\overrightarrow{EF}$ через радиус-векторы точек E и F по правилу вычитания векторов:
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DE}$.
Подставив найденные выражения для $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{DF}$, получим:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA})$.

Вектор $\overrightarrow{AC}$ также можно представить в виде разности векторов, выходящих из точки D:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}$.

Сравнивая полученные выражения для $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{AC}$, видим, что:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Поскольку вектор $\overrightarrow{EF}$ является произведением вектора $\overrightarrow{AC}$ на скаляр $k = \frac{1}{3}$, векторы $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны. Это означает, что прямые, на которых лежат эти векторы, параллельны, то есть $EF \parallel AC$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Выразите вектор $\overrightarrow{EF}$ через вектор $\overrightarrow{AC}$.

В ходе решения пункта 1 было получено искомое соотношение. В результате вычислений мы установили, что:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA})$.
Так как по правилу вычитания векторов $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}$, то, подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Ответ: $\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.