Номер 4.24, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.24. Докажите, что при гомотетии образом окружности является окружность.

Пусть дана гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \ne 0$. Рассмотрим произвольную окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $r$. По определению, окружность — это геометрическое место точек $M$ плоскости, расстояние от которых до центра $C$ постоянно и равно радиусу $r$. То есть, для любой точки $M$, принадлежащей окружности $\omega$, выполняется равенство: $|CM| = r$.

Докажем, что образом окружности $\omega$ при данной гомотетии является также окружность.

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ каждая точка $X$ плоскости переходит в точку $X'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$.

Пусть $C'$ — это образ центра $C$ исходной окружности. Тогда $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$.

Пусть $M'$ — это образ произвольной точки $M$, лежащей на окружности $\omega$. Тогда $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Нам нужно найти расстояние от точки $M'$ до точки $C'$ и показать, что оно постоянно для любой точки $M$ на исходной окружности. Это расстояние равно длине вектора $\vec{C'M'}$.

Выразим вектор $\vec{C'M'}$ через векторы с началом в точке $O$: $\vec{C'M'} = \vec{OM'} - \vec{OC'}$

Подставим в это равенство определения образов $M'$ и $C'$: $\vec{C'M'} = k \cdot \vec{OM} - k \cdot \vec{OC}$

Вынесем коэффициент $k$ за скобки: $\vec{C'M'} = k \cdot (\vec{OM} - \vec{OC})$

Так как $\vec{OM} - \vec{OC} = \vec{CM}$, получаем: $\vec{C'M'} = k \cdot \vec{CM}$

Теперь найдем длину вектора $\vec{C'M'}$, которая и является расстоянием $|C'M'|$: $|C'M'| = |\vec{C'M'}| = |k \cdot \vec{CM}|$

Используя свойство длины вектора, получаем: $|C'M'| = |k| \cdot |\vec{CM}|$

Поскольку точка $M$ лежит на исходной окружности с центром $C$ и радиусом $r$, то длина вектора $\vec{CM}$ равна радиусу: $|\vec{CM}| = r$. Следовательно, $|C'M'| = |k| \cdot r$

Полученное равенство показывает, что расстояние от любой точки $M'$ (образа точки $M$ с исходной окружности) до фиксированной точки $C'$ (образа центра $C$) постоянно и равно $|k| \cdot r$.

Таким образом, множество всех точек $M'$ является окружностью с центром в точке $C'$ и радиусом $r' = |k| \cdot r$. Что и требовалось доказать.

Ответ: При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ окружность с центром $C$ и радиусом $r$ переходит в окружность с центром $C'$ (где $C'$ — образ точки $C$) и радиусом $r' = |k| \cdot r$. Следовательно, образом окружности при гомотетии является окружность.