Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.14. Дан вектор $\vec{a} (-2; 6; 3)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, а модуль вектора $\vec{b}$ равен 1.

По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Это означает, что они коллинеарны, и существует такое отрицательное число $k$ ($k < 0$), что выполняется равенство:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Координаты вектора $\vec{b}$ будут равны координатам вектора $\vec{a}$, умноженным на $k$:

$\vec{b} = (k \cdot (-2); k \cdot 6; k \cdot 3) = (-2k; 6k; 3k)$

Также по условию модуль (длина) вектора $\vec{b}$ равен 1. Формула модуля вектора $\vec{b}(x; y; z)$ выглядит так: $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу к вектору $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2k)^2 + (6k)^2 + (3k)^2} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(-2k)^2 + (6k)^2 + (3k)^2 = 1^2$

$4k^2 + 36k^2 + 9k^2 = 1$

$49k^2 = 1$

$k^2 = \frac{1}{49}$

Отсюда $k = \sqrt{\frac{1}{49}}$ или $k = -\sqrt{\frac{1}{49}}$.

$k = \frac{1}{7}$ или $k = -\frac{1}{7}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, коэффициент $k$ должен быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем $k = -\frac{1}{7}$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{b}$, подставив значение $k$:

$\vec{b} = (-2 \cdot (-\frac{1}{7}); 6 \cdot (-\frac{1}{7}); 3 \cdot (-\frac{1}{7})) = (\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7})$

Ответ: $(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7})$

4.15. Дано: $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$, $|\vec{m}| = 5\sqrt{6}$, $\vec{n} (1; -1; 2)$. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

По условию, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены (кодирекциональны), что обозначается как $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$. Это означает, что существует такое положительное число $k$ ($k > 0$), что $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

Нам известны координаты вектора $\vec{n}(1; -1; 2)$. Используя соотношение выше, мы можем выразить координаты вектора $\vec{m}$ через $k$:

$\vec{m} = (k \cdot 1; k \cdot (-1); k \cdot 2) = (k; -k; 2k)$

Длина (модуль) вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Вычислим модуль вектора $\vec{m}$ через его координаты, выраженные через $k$:

$|\vec{m}| = \sqrt{k^2 + (-k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{k^2 + k^2 + 4k^2} = \sqrt{6k^2}$

Так как по условию сонаправленности $k > 0$, то $\sqrt{k^2} = k$. Следовательно:

$|\vec{m}| = k\sqrt{6}$

По условию задачи дано, что $|\vec{m}| = 5\sqrt{6}$. Приравняем два выражения для модуля вектора $\vec{m}$:

$k\sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

Отсюда находим значение $k$:

$k = 5$

Теперь, зная значение $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{m}$, подставив $k=5$ в выражение для его координат:

$\vec{m} = (5; -5; 2 \cdot 5) = (5; -5; 10)$

Ответ: $(5; -5; 10)$.

4.16. Лежат ли на одной прямой точки:

1) $A (5; 6; -4)$, $B (7; 8; 2)$ и $C (3; 4; 14)$;

2) $D (-1; -7; -8)$, $E (0; -4; -4)$ и $F (2; 2; 4)$?

1) A(5; 6; -4), B(7; 8; 2) и C(3; 4; 14);

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), были коллинеарны.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность соответствующих координат точек B и A:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (7 - 5; 8 - 6; 2 - (-4)) = (2; 2; 6)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$ вычисляются как разность соответствующих координат точек C и A:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (3 - 5; 4 - 6; 14 - (-4)) = (-2; -2; 18)$.

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, выполняется ли это условие:
$\frac{-2}{2} = \frac{-2}{2} = \frac{18}{6}$

Вычислим значения этих отношений:
$\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{18}{6} = 3$

Так как $-1 \neq 3$, условие пропорциональности не выполняется. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, а значит точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: не лежат.

2) D(-1; -7; -8), E(0; -4; -4) и F(2; 2; 4)?

Аналогично первому пункту, проверим, лежат ли точки D, E и F на одной прямой. Для этого определим, коллинеарны ли векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$.

Найдем координаты векторов:
$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (0 - (-1); -4 - (-7); -4 - (-8)) = (1; 3; 4)$.
$\vec{DF} = (x_F - x_D; y_F - y_D; z_F - z_D) = (2 - (-1); 2 - (-7); 4 - (-8)) = (3; 9; 12)$.

Проверим условие коллинеарности векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ через пропорциональность их координат:
$\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{12}{4}$

Вычислим значения отношений:
$\frac{3}{1} = 3$
$\frac{9}{3} = 3$
$\frac{12}{4} = 3$

Поскольку все отношения равны $3$, координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ коллинеарны, а значит точки D, E и F лежат на одной прямой.

Ответ: лежат.

4.17. Точки A, B и C таковы, что $\vec{AB} (10; 15; -5)$ и $\vec{AC} (-6; y; z)$. При каких значениях y и z точки A, B и C лежат на одной прямой?

Для того чтобы три точки A, B и C лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, имеющие общее начало в точке A, были коллинеарными.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что $\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}$.

Нам даны координаты векторов:

$\overrightarrow{AB}(10; 15; -5)$

$\overrightarrow{AC}(-6; y; z)$

Запишем условие коллинеарности в координатной форме:

$(-6; y; z) = k \cdot (10; 15; -5)$

Это векторное равенство эквивалентно системе трех уравнений для соответствующих координат:

$\begin{cases} -6 = k \cdot 10 \\ y = k \cdot 15 \\ z = k \cdot (-5) \end{cases}$

Из первого уравнения найдем значение коэффициента $k$:

$k = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Теперь подставим найденное значение $k$ во второе и третье уравнения системы, чтобы найти $y$ и $z$:

$y = -\frac{3}{5} \cdot 15 = -3 \cdot \frac{15}{5} = -3 \cdot 3 = -9$

$z = -\frac{3}{5} \cdot (-5) = 3$

Таким образом, при $y = -9$ и $z = 3$ векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны, а значит точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: $y = -9$, $z = 3$.

4.18. Точка $E$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{AE}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AE}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{AE}$ как сумму векторов, идущих по ломаной линии от точки A до точки E. Удобно выбрать путь через вершины куба, например, A → C → E.

Согласно правилу многоугольника для сложения векторов, можем записать:
$\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в правой части равенства ($\vec{AC}$ и $\vec{CE}$) через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании куба. По правилу параллелограмма (или по правилу треугольника для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
В кубе противоположные ребра параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$. Заменяя $\vec{BC}$ на $\vec{AD}$, получаем:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. По условию, точка E является серединой ребра $CC_1$. Это означает, что вектор $\vec{CE}$ направлен так же, как и вектор $\vec{CC_1}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом:
$\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$
Так как $AA_1C_1C$ является боковой гранью куба, ребра $CC_1$ и $AA_1$ параллельны и равны. Следовательно, соответствующие векторы также равны: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Подставим это в предыдущее выражение:
$\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

3. Теперь подставим найденные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CE}$ в исходную формулу для $\vec{AE}$:
$\vec{AE} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$
Убирая скобки, получаем окончательное разложение вектора $\vec{AE}$ по базисным векторам:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

4.19. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Решение

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A:

$\vec{a} = \vec{AB}$
$\vec{b} = \vec{AD}$
$\vec{c} = \vec{AA_1}$

Наша цель — выразить вектор $\vec{MK}$ через эти базисные векторы.

Вектор $\vec{MK}$ можно представить как разность векторов, проведенных из некоторой общей точки (например, A) к точкам K и M, по правилу вычитания векторов:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM}$

Теперь найдем выражения для векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ через базисные векторы.

1. Выражение для вектора $\vec{AM}$

Точка M является серединой ребра $A_1B_1$. Выразим вектор $\vec{AM}$ по правилу многоугольника, следуя по ребрам из A в M, например, по пути $A \rightarrow A_1 \rightarrow M$:

$\vec{AM} = \vec{AA_1} + \vec{A_1M}$

Поскольку M — середина $A_1B_1$, то $\vec{A_1M} = \frac{1}{2} \vec{A_1B_1}$.

В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{A_1M} = \frac{1}{2} \vec{a}$.

Вектор $\vec{AA_1}$ по нашему определению равен $\vec{c}$.

Подставляя найденные выражения, получаем:

$\vec{AM} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a}$

2. Выражение для вектора $\vec{AK}$

Точка K является серединой ребра $CC_1$. Выразим вектор $\vec{AK}$, следуя по пути $A \rightarrow C \rightarrow K$:

$\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK}$

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу параллелограмма для векторов:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Поскольку K — середина $CC_1$, то $\vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{CC_1}$.

В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Следовательно, $\vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{c}$.

Подставляя найденные выражения, получаем:

$\vec{AK} = (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

3. Нахождение вектора $\vec{MK}$

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ в формулу для $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}) - (\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{c})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{c}$

$\vec{MK} = (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{a}) + \vec{b} + (\frac{1}{2} \vec{c} - \vec{c})$

$\vec{MK} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

Заменим $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на исходные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2} \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

4.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $E$ — середина ребра $CC_1$, точка $F$ — середина ребра $AD$. Выразите вектор $\overrightarrow{EF}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через заданные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом разности векторов. Вектор $\vec{EF}$ можно представить как разность векторов, проведенных из какой-либо общей точки (например, из вершины A) к точкам F и E:

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE}$

Теперь найдем каждый из векторов $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, выразив их через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Сначала найдем вектор $\vec{AF}$. По условию, точка F является серединой ребра AD. Это означает, что вектор $\vec{AF}$ сонаправлен вектору $\vec{AD}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом, получаем:

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Далее найдем вектор $\vec{AE}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов (правило многоугольника), построив путь из точки A в точку E через ребра куба: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CE}$.
Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то противолежащие стороны его граней параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$ ($\vec{BC} = \vec{AD}$).
Точка E — середина ребра $CC_1$, поэтому $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$. Также в кубе боковые ребра параллельны и равны, следовательно, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.
Отсюда получаем, что $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.
Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Теперь, имея выражения для $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$, подставим их в исходную формулу для $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} - (\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB} - \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{EF} = -\vec{AB} + (\frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AD}) - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{EF} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{EF} = -\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

4.21. Образом точки $B(3; -4; 1)$ при гомотетии с центром $A(-1; 2; 9)$ является точка $B_1(-2; 3; 5; 11)$. Найдите образ $C_1$ точки $C(19; -6; 37)$ при этой гомотетии.

Гомотетия с центром в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и коэффициентом $k$ преобразует любую точку $P(x_P; y_P; z_P)$ в точку $P_1(x_{P_1}; y_{P_1}; z_{P_1})$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{AP_1} = k \cdot \vec{AP}$.

В координатной форме это записывается как система уравнений:

$x_{P_1} - x_A = k(x_P - x_A)$

$y_{P_1} - y_A = k(y_P - y_A)$

$z_{P_1} - z_A = k(z_P - z_A)$

Решение задачи состоит из двух шагов: сначала мы найдем коэффициент гомотетии $k$ по известным точкам $A, B$ и $B_1$, а затем, используя этот коэффициент, найдем образ точки $C$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии k

По условию, образом точки $B(3; -4; 1)$ при гомотетии с центром $A(-1; 2; 9)$ является точка $B_1(-2; 3,5; 11)$. Используем формулу гомотетии для этих точек: $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB}$.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - (-1); -4 - 2; 1 - 9) = (4; -6; -8)$

$\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A) = (-2 - (-1); 3,5 - 2; 11 - 9) = (-1; 1,5; 2)$

Теперь запишем векторное равенство $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB}$ в координатах:

$(-1; 1,5; 2) = k \cdot (4; -6; -8)$

Это соответствует системе трех уравнений:

$-1 = 4k$

$1,5 = -6k$

$2 = -8k$

Из первого уравнения находим $k = -\frac{1}{4}$. Проверим, удовлетворяет ли это значение двум другим уравнениям:

$1,5 = -6 \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$ (верно)

$2 = -8 \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{8}{4} = 2$ (верно)

Таким образом, коэффициент гомотетии $k = -1/4$.

2. Нахождение образа $C_1$ точки $C$

Теперь нам нужно найти образ $C_1(x_1; y_1; z_1)$ точки $C(19; -6; 37)$ при гомотетии с тем же центром $A(-1; 2; 9)$ и найденным коэффициентом $k = -1/4$.

Используем ту же формулу: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (19 - (-1); -6 - 2; 37 - 9) = (20; -8; 28)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$, умножив $\vec{AC}$ на $k = -1/4$:

$\vec{AC_1} = -\frac{1}{4} \cdot (20; -8; 28) = (-\frac{20}{4}; \frac{8}{4}; -\frac{28}{4}) = (-5; 2; -7)$

Координаты вектора $\vec{AC_1}$ также выражаются как $(x_1 - x_A; y_1 - y_A; z_1 - z_A)$. Приравняем их к найденным значениям, чтобы найти координаты точки $C_1$:

$x_1 - (-1) = -5 \implies x_1 + 1 = -5 \implies x_1 = -6$

$y_1 - 2 = 2 \implies y_1 = 4$

$z_1 - 9 = -7 \implies z_1 = 9 - 7 \implies z_1 = 2$

Следовательно, искомая точка $C_1$ имеет координаты $(-6; 4; 2)$.

Ответ: $C_1(-6; 4; 2)$.

4.22. Образом точки $M (2; 3; -5)$ при гомотетии с центром $A (1; 0; -1)$ является точка $M_1 (4; 9; -13)$. Найдите прообраз $K$ точки $K_1 (16; -21; 2)$ при этой гомотетии.

Гомотетия с центром в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и коэффициентом $k$ переводит точку $P$ в точку $P_1$ согласно векторному равенству $\vec{AP_1} = k \cdot \vec{AP}$.

Сначала найдем коэффициент гомотетии $k$, используя данные для точек $M(2; 3; -5)$ и ее образа $M_1(4; 9; -13)$ с центром гомотетии в точке $A(1; 0; -1)$.

Вычислим координаты векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AM_1}$:

$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A; z_M - z_A) = (2 - 1; 3 - 0; -5 - (-1)) = (1; 3; -4)$.

$\vec{AM_1} = (x_{M_1} - x_A; y_{M_1} - y_A; z_{M_1} - z_A) = (4 - 1; 9 - 0; -13 - (-1)) = (3; 9; -12)$.

Из равенства $\vec{AM_1} = k \cdot \vec{AM}$ следует $(3; 9; -12) = k \cdot (1; 3; -4)$.

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 3 = k \cdot 1 \\ 9 = k \cdot 3 \\ -12 = k \cdot (-4) \end{cases}$

Из каждого уравнения следует, что коэффициент гомотетии $k = 3$.

Теперь необходимо найти прообраз $K(x; y; z)$ точки $K_1(16; -21; 2)$ при этой же гомотетии. Это означает, что точка $K_1$ является образом точки $K$.

Для точек $K$ и $K_1$ выполняется аналогичное векторное равенство: $\vec{AK_1} = k \cdot \vec{AK}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AK_1}$ и $\vec{AK}$:

$\vec{AK_1} = (16 - 1; -21 - 0; 2 - (-1)) = (15; -21; 3)$.

$\vec{AK} = (x - 1; y - 0; z - (-1)) = (x - 1; y; z + 1)$.

Подставим известные значения в равенство $\vec{AK_1} = k \cdot \vec{AK}$:

$(15; -21; 3) = 3 \cdot (x - 1; y; z + 1)$.

Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений для координат:

$\begin{cases} 15 = 3(x - 1) \\ -21 = 3y \\ 3 = 3(z + 1) \end{cases}$

Решим эту систему, чтобы найти координаты $(x; y; z)$ точки $K$:

Из первого уравнения: $15 = 3x - 3 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$.

Из второго уравнения: $y = \frac{-21}{3} \Rightarrow y = -7$.

Из третьего уравнения: $3 = 3z + 3 \Rightarrow 3z = 0 \Rightarrow z = 0$.

Таким образом, координаты прообраза $K$ равны $(6; -7; 0)$.

Ответ: $K(6; -7; 0)$.

4.23. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точка $O$ не принадлежит этим плоскостям (рис. 4.13). Каждой точке $X$ фигуры $F$, принадлежащей плоскости $\alpha$, ставится в соответствие точка $X_1$ такая, что $X_1 = OX \cap \beta$. Докажите, что при таком преобразовании образом фигуры $F$ является фигура $F_1$, гомотетичная фигуре $F$ с центром $O$ и коэффициентом, равным $\frac{h}{h_1}$, где $h$ и $h_1$ — соответственно расстояния от точки $O$ до плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Рис. 4.13

По условию задачи, каждой точке $X$ фигуры $F$, принадлежащей плоскости $\alpha$, ставится в соответствие точка $X_1$, которая является точкой пересечения прямой $OX$ с плоскостью $\beta$. Это означает, что для любой пары соответственных точек $X$ и $X_1$, точки $O, X, X_1$ лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что фигура $F_1$ (состоящая из всех точек $X_1$) гомотетична фигуре $F$ с центром в точке $O$, необходимо показать, что для любой точки $X \in F$ выполняется векторное равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$, где $k$ — постоянный коэффициент, равный, как требуется в условии, $\frac{h}{h_1}$.

Проведем доказательство.
Пусть $h$ — расстояние от точки $O$ до плоскости $\beta$, и $h_1$ — расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$.
Опустим перпендикуляры из точки $O$ на плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $P$ — основание перпендикуляра на плоскость $\alpha$, а $P_1$ — основание перпендикуляра на плоскость $\beta$.
По определению расстояния от точки до плоскости имеем: $|OP| = h_1$ и $|OP_1| = h$.
Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямые $OP$ и $OP_1$ перпендикулярны этим плоскостям, то точки $O, P_1, P$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим произвольную точку $X$ фигуры $F$ и ее образ $X_1$. Возьмем плоскость $\gamma$, проходящую через три точки: $O, P, X$ (если они не лежат на одной прямой). Точки $X_1$ (лежащая на прямой $OX$) и $P_1$ (лежащая на прямой $OP$) также принадлежат этой плоскости $\gamma$.

В плоскости $\gamma$ рассмотрим треугольники $\triangle OPX$ и $\triangle OP_1X_1$.
1. Так как $OP$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $PX$ лежит в плоскости $\alpha$, то угол $\angle OPX$ прямой, $\angle OPX = 90^\circ$.
2. Аналогично, так как $OP_1$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а прямая $P_1X_1$ лежит в плоскости $\beta$, то угол $\angle OP_1X_1$ прямой, $\angle OP_1X_1 = 90^\circ$.
Следовательно, треугольники $\triangle OPX$ и $\triangle OP_1X_1$ — прямоугольные.

У этих прямоугольных треугольников есть общий острый угол при вершине $O$ ($\angle POX = \angle P_1OX_1$). Следовательно, треугольники $\triangle OPX$ и $\triangle OP_1X_1$ подобны по острому углу.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон (гипотенуз и катетов):$ \frac{|OX_1|}{|OX|} = \frac{|OP_1|}{|OP|} $

Подставим известные длины перпендикуляров:$ \frac{|OX_1|}{|OX|} = \frac{h}{h_1} $

Это отношение не зависит от выбора точки $X$ в фигуре $F$, так как $h$ и $h_1$ — это заданные постоянные расстояния. Обозначим этот постоянный коэффициент как $k = \frac{h}{h_1}$. Таким образом, для любой точки $X \in F$ и ее образа $X_1 \in F_1$ выполняется равенство длин отрезков: $|OX_1| = k \cdot |OX|$.

Поскольку точки $O, X, X_1$ лежат на одной прямой, из равенства длин следует векторное равенство:$ \vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX} $, где $k = \frac{h}{h_1}$.

Это равенство является определением гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. Таким образом, преобразование, отображающее фигуру $F$ на фигуру $F_1$, является гомотетией.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что фигура $F_1$ является образом фигуры $F$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{h}{h_1}$.

4.24. Докажите, что при гомотетии образом окружности является окружность.

Пусть дана гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \ne 0$. Рассмотрим произвольную окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $r$. По определению, окружность — это геометрическое место точек $M$ плоскости, расстояние от которых до центра $C$ постоянно и равно радиусу $r$. То есть, для любой точки $M$, принадлежащей окружности $\omega$, выполняется равенство: $|CM| = r$.

Докажем, что образом окружности $\omega$ при данной гомотетии является также окружность.

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ каждая точка $X$ плоскости переходит в точку $X'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$.

Пусть $C'$ — это образ центра $C$ исходной окружности. Тогда $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$.

Пусть $M'$ — это образ произвольной точки $M$, лежащей на окружности $\omega$. Тогда $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Нам нужно найти расстояние от точки $M'$ до точки $C'$ и показать, что оно постоянно для любой точки $M$ на исходной окружности. Это расстояние равно длине вектора $\vec{C'M'}$.

Выразим вектор $\vec{C'M'}$ через векторы с началом в точке $O$: $\vec{C'M'} = \vec{OM'} - \vec{OC'}$

Подставим в это равенство определения образов $M'$ и $C'$: $\vec{C'M'} = k \cdot \vec{OM} - k \cdot \vec{OC}$

Вынесем коэффициент $k$ за скобки: $\vec{C'M'} = k \cdot (\vec{OM} - \vec{OC})$

Так как $\vec{OM} - \vec{OC} = \vec{CM}$, получаем: $\vec{C'M'} = k \cdot \vec{CM}$

Теперь найдем длину вектора $\vec{C'M'}$, которая и является расстоянием $|C'M'|$: $|C'M'| = |\vec{C'M'}| = |k \cdot \vec{CM}|$

Используя свойство длины вектора, получаем: $|C'M'| = |k| \cdot |\vec{CM}|$

Поскольку точка $M$ лежит на исходной окружности с центром $C$ и радиусом $r$, то длина вектора $\vec{CM}$ равна радиусу: $|\vec{CM}| = r$. Следовательно, $|C'M'| = |k| \cdot r$

Полученное равенство показывает, что расстояние от любой точки $M'$ (образа точки $M$ с исходной окружности) до фиксированной точки $C'$ (образа центра $C$) постоянно и равно $|k| \cdot r$.

Таким образом, множество всех точек $M'$ является окружностью с центром в точке $C'$ и радиусом $r' = |k| \cdot r$. Что и требовалось доказать.

Ответ: При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ окружность с центром $C$ и радиусом $r$ переходит в окружность с центром $C'$ (где $C'$ — образ точки $C$) и радиусом $r' = |k| \cdot r$. Следовательно, образом окружности при гомотетии является окружность.