Страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.1. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{a};$

2) $\vec{a} = -2\vec{b}$?

Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связаны соотношением $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ — некоторое число (скаляр). Направление векторов зависит от знака этого числа:

• Если $k > 0$, то векторы сонаправлены (направлены в одну сторону), что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Если $k < 0$, то векторы противоположно направлены (направлены в противоположные стороны), что обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Дано равенство $\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a}$.

В этом случае векторы связаны через коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Так как $k = \frac{1}{3} > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными.

Ответ: сонаправленными.

2) Дано равенство $\vec{a} = -2\vec{b}$.

Чтобы определить направление, выразим один вектор через другой, например, $\vec{b}$ через $\vec{a}$. Для этого разделим обе части равенства на -2:

$\vec{b} = \frac{\vec{a}}{-2} = -\frac{1}{2}\vec{a}$.

В этом случае коэффициент связи $k = -\frac{1}{2}$.

Так как $k = -\frac{1}{2} < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются противоположно направленными.

Ответ: противоположно направленными.

4.2. Даны векторы $\vec{a}(-3; 2; 5)$ и $\vec{b}(-2; -4; 1)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$;

2) $\vec{c} = 4\vec{a} - 3\vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}(-3; 2; 5)$ и $\vec{b}(-2; -4; 1)$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, необходимо выполнить операции умножения вектора на скаляр и сложения/вычитания векторов. Эти операции выполняются покоординатно.

1) $\vec{c} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$

Сначала найдем координаты векторов $3\vec{a}$ и $2\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на соответствующие скаляры (3 и 2):

$3\vec{a} = (3 \cdot (-3); 3 \cdot 2; 3 \cdot 5) = (-9; 6; 15)$

$2\vec{b} = (2 \cdot (-2); 2 \cdot (-4); 2 \cdot 1) = (-4; -8; 2)$

Теперь сложим полученные векторы, складывая их соответствующие координаты:

$\vec{c} = 3\vec{a} + 2\vec{b} = (-9 + (-4); 6 + (-8); 15 + 2) = (-13; -2; 17)$

Ответ: $\vec{c}(-13; -2; 17)$.

2) $\vec{c} = 4\vec{a} - 3\vec{b}$

Аналогично первому пункту, найдем сначала координаты векторов $4\vec{a}$ и $3\vec{b}$:

$4\vec{a} = (4 \cdot (-3); 4 \cdot 2; 4 \cdot 5) = (-12; 8; 20)$

$3\vec{b} = (3 \cdot (-2); 3 \cdot (-4); 3 \cdot 1) = (-6; -12; 3)$

Теперь вычтем из координат вектора $4\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{b}$:

$\vec{c} = 4\vec{a} - 3\vec{b} = (-12 - (-6); 8 - (-12); 20 - 3) = (-12 + 6; 8 + 12; 17) = (-6; 20; 17)$

Ответ: $\vec{c}(-6; 20; 17)$.

4.3. Даны векторы $\vec{m}$ (1; 7; -8) и $\vec{n}$ (3; -1; 6). Найдите координаты вектора $\vec{a}$, если:

1) $\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n}$;

2) $\vec{a} = -\vec{m} - 6\vec{n}$.

Даны векторы $\vec{m}(1; 7; -8)$ и $\vec{n}(3; -1; 6)$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{a}$, нужно выполнить соответствующие операции с координатами данных векторов.

1) $\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n}$

Для нахождения координат вектора $\vec{a}$ необходимо сначала умножить координаты вектора $\vec{m}$ на $-2$, а координаты вектора $\vec{n}$ на $5$, а затем сложить полученные векторы.

1. Умножим вектор $\vec{m}$ на скаляр $-2$:
$-2\vec{m} = -2 \cdot (1; 7; -8) = (-2 \cdot 1; -2 \cdot 7; -2 \cdot (-8)) = (-2; -14; 16)$.

2. Умножим вектор $\vec{n}$ на скаляр $5$:
$5\vec{n} = 5 \cdot (3; -1; 6) = (5 \cdot 3; 5 \cdot (-1); 5 \cdot 6) = (15; -5; 30)$.

3. Сложим полученные векторы:
$\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n} = (-2; -14; 16) + (15; -5; 30)$.
Сложение векторов производится покоординатно:
$\vec{a} = (-2 + 15; -14 + (-5); 16 + 30) = (13; -19; 46)$.

Ответ: $\vec{a}(13; -19; 46)$.

2) $\vec{a} = -\vec{m} - 6\vec{n}$

Действуем аналогично первому пункту.

1. Найдем координаты вектора $-\vec{m}$ (что эквивалентно умножению на $-1$):
$-\vec{m} = -1 \cdot (1; 7; -8) = (-1; -7; 8)$.

2. Умножим вектор $\vec{n}$ на скаляр $-6$:
$-6\vec{n} = -6 \cdot (3; -1; 6) = (-6 \cdot 3; -6 \cdot (-1); -6 \cdot 6) = (-18; 6; -36)$.

3. Сложим полученные векторы:
$\vec{a} = -\vec{m} - 6\vec{n} = (-1; -7; 8) + (-18; 6; -36)$.
$\vec{a} = (-1 + (-18); -7 + 6; 8 + (-36)) = (-19; -1; -28)$.

Ответ: $\vec{a}(-19; -1; -28)$.

4.4. Найдите модуль вектора $\vec{c} = -6\vec{a} - 7\vec{b}$, если $\vec{a}(-1; 1; 1)$, $\vec{b}(2; 2; -2)$.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{c}$, сначала необходимо вычислить его координаты. Вектор $\vec{c}$ задан как линейная комбинация векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{c} = -6\vec{a} - 7\vec{b}$.

Известны координаты векторов $\vec{a}(-1; 1; 1)$ и $\vec{b}(2; 2; -2)$.

1. Вычислим координаты вектора $-6\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на -6:

$-6\vec{a} = -6 \cdot (-1; 1; 1) = (-6 \cdot (-1); -6 \cdot 1; -6 \cdot 1) = (6; -6; -6)$.

2. Вычислим координаты вектора $-7\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на -7:

$-7\vec{b} = -7 \cdot (2; 2; -2) = (-7 \cdot 2; -7 \cdot 2; -7 \cdot (-2)) = (-14; -14; 14)$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$ путем сложения координат полученных векторов $-6\vec{a}$ и $-7\vec{b}$:

$\vec{c} = -6\vec{a} - 7\vec{b} = (6; -6; -6) + (-14; -14; 14) = (6 - 14; -6 - 14; -6 + 14) = (-8; -20; 8)$.

4. Модуль (длина) вектора $\vec{c}$ с координатами $(x; y; z)$ находится по формуле: $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{c}(-8; -20; 8)$ в эту формулу:

$|\vec{c}| = \sqrt{(-8)^2 + (-20)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 400 + 64} = \sqrt{528}$.

5. Упростим полученное значение. Разложим число 528 на множители:

$528 = 16 \cdot 33$.

Тогда $|\vec{c}| = \sqrt{16 \cdot 33} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{33} = 4\sqrt{33}$.

Ответ: $4\sqrt{33}$.

4.5. Найдите модуль вектора $\vec{p} = 8\vec{a} - 9\vec{b}$, если $\vec{a} (0,5; -0,5; 1,5)$, $\vec{b} (\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{9})$.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{p} = 8\vec{a} - 9\vec{b}$, сначала необходимо найти координаты самого вектора $\vec{p}$. Это делается в несколько шагов.

1. Находим координаты вектора $8\vec{a}$

Умножим каждую координату вектора $\vec{a}(0,5; -0,5; 1,5)$ на 8:

$8\vec{a} = (8 \cdot 0,5; 8 \cdot (-0,5); 8 \cdot 1,5) = (4; -4; 12)$

2. Находим координаты вектора $9\vec{b}$

Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{9})$ на 9:

$9\vec{b} = (9 \cdot \frac{1}{3}; 9 \cdot (-\frac{2}{3}); 9 \cdot \frac{1}{9}) = (3; -6; 1)$

3. Находим координаты вектора $\vec{p}$

Вычтем из координат вектора $8\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $9\vec{b}$:

$\vec{p} = 8\vec{a} - 9\vec{b} = (4-3; -4-(-6); 12-1) = (1; 2; 11)$

4. Находим модуль вектора $\vec{p}$

Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Подставим в нее координаты вектора $\vec{p}(1; 2; 11)$:

$|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 4 + 121} = \sqrt{126}$

Упростим полученный корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$

Ответ: $3\sqrt{14}$

4.6. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если A $(4; -1; -4)$, B $(0; 5; 6)$, C $(0; 2; 7)$, D $(2; -1; 2)$?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, необходимо сначала найти их координаты, а затем проверить, пропорциональны ли они.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, зная координаты точек $A(4; -1; -4)$ и $B(0; 5; 6)$:
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 4; 5 - (-1); 6 - (-4)) = (-4; 6; 10)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{CD}$, зная координаты точек $C(0; 2; 7)$ и $D(2; -1; 2)$:
$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (2 - 0; -1 - 2; 2 - 7) = (2; -3; -5)$.

3. Векторы коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{CD}$. Это условие эквивалентно пропорциональности их соответствующих координат:
$\frac{x_{AB}}{x_{CD}} = \frac{y_{AB}}{y_{CD}} = \frac{z_{AB}}{z_{CD}} = k$.

Проверим это условие для наших векторов $\overrightarrow{AB}(-4; 6; 10)$ и $\overrightarrow{CD}(2; -3; -5)$:
$\frac{-4}{2} = -2$
$\frac{6}{-3} = -2$
$\frac{10}{-5} = -2$

Так как отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (-2), то векторы пропорциональны. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны.

Ответ: да, векторы коллинеарны.

4.7. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$, если $D (2; -3; 4)$, $E (-1; 6; 2)$, $F (-2; 8; 6)$, $K (-3; 11; 7)$?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В координатной форме это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ должно выполняться равенство $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$, где $k$ — некоторое число (коэффициент пропорциональности).

Чтобы проверить коллинеарность векторов $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$, сначала найдем их координаты. Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{DE}$, где $D(2; -3; 4)$ и $E(-1; 6; 2)$:
$\overrightarrow{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (-1 - 2; 6 - (-3); 2 - 4) = (-3; 9; -2)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{FK}$, где $F(-2; 8; 6)$ и $K(-3; 11; 7)$:
$\overrightarrow{FK} = (x_K - x_F; y_K - y_F; z_K - z_F) = (-3 - (-2); 11 - 8; 7 - 6) = (-1; 3; 1)$.

3. Проверим условие коллинеарности для векторов $\overrightarrow{DE}(-3; 9; -2)$ и $\overrightarrow{FK}(-1; 3; 1)$. Для этого составим отношения их соответствующих координат:
Для координат по оси x: $\frac{-3}{-1} = 3$.
Для координат по оси y: $\frac{9}{3} = 3$.
Для координат по оси z: $\frac{-2}{1} = -2$.

Поскольку полученные отношения не равны между собой ($3 = 3 \neq -2$), условие пропорциональности координат не выполняется. Следовательно, векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$ не являются коллинеарными.
Ответ: нет, векторы не коллинеарны.

4.8. Образом точки $A (-3; 9; 5)$ при гомотетии с центром в начале координат является точка $B (9; -27; -15)$. Найдите коэффициент гомотетии.

При гомотетии с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и коэффициентом $k$, координаты образа точки получаются умножением соответствующих координат исходной точки на коэффициент $k$.

Пусть даны точка $A(x_A; y_A; z_A)$ и ее образ $B(x_B; y_B; z_B)$. Тогда справедливы следующие соотношения:

$x_B = k \cdot x_A$

$y_B = k \cdot y_A$

$z_B = k \cdot z_A$

В нашем случае, точка $A$ имеет координаты $(-3; 9; 5)$, а ее образ, точка $B$, имеет координаты $(9; -27; -15)$. Подставим эти значения в формулы:

$9 = k \cdot (-3)$

$-27 = k \cdot 9$

$-15 = k \cdot 5$

Из любого из этих уравнений мы можем найти значение коэффициента $k$. Проверим все три для согласованности.

Из первого уравнения: $k = \frac{9}{-3} = -3$.

Из второго уравнения: $k = \frac{-27}{9} = -3$.

Из третьего уравнения: $k = \frac{-15}{5} = -3$.

Все три уравнения дают одинаковый результат, следовательно, коэффициент гомотетии равен -3.

Ответ: -3

4.9. Найдите координаты образа точки A (20; -35; -55) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии $k = \frac{3}{5}$.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $A(x; y; z)$ в точку $A'(x'; y'; z')$, координаты которой вычисляются путем умножения каждой координаты исходной точки на коэффициент гомотетии.

Формулы для нахождения координат образа точки $A'$:
$x' = k \cdot x$
$y' = k \cdot y$
$z' = k \cdot z$

По условию задачи, координаты исходной точки $A(20; -35; -55)$, а коэффициент гомотетии $k = -\frac{3}{5}$. Подставим эти значения в формулы.

1. Вычисляем координату $x'$:
$x' = (-\frac{3}{5}) \cdot 20 = -\frac{3 \cdot 20}{5} = -3 \cdot 4 = -12$

2. Вычисляем координату $y'$:
$y' = (-\frac{3}{5}) \cdot (-35) = \frac{3 \cdot 35}{5} = 3 \cdot 7 = 21$

3. Вычисляем координату $z'$:
$z' = (-\frac{3}{5}) \cdot (-55) = \frac{3 \cdot 55}{5} = 3 \cdot 11 = 33$

Следовательно, координаты образа точки $A$ при данной гомотетии равны $(-12; 21; 33)$.

Ответ: $(-12; 21; 33)$

4.10. Найдите значения $x$ и $y$, при которых векторы $\vec{a}(x; y; 2)$ и $\vec{b}(-2; 3; 1)$ будут коллинеарны.

Два ненулевых вектора являются коллинеарными, если существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что один вектор можно выразить через другой путем умножения на это число. Иными словами, для векторов $\vec{a}(x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b; z_b)$ условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ равносильно системе уравнений:

$x_a = k \cdot x_b$
$y_a = k \cdot y_b$
$z_a = k \cdot z_b$

Это также можно записать в виде пропорции их координат (при условии, что координаты вектора $\vec{b}$ не равны нулю): $$ \frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} = k $$

В нашей задаче даны векторы $\vec{a}(x; y; 2)$ и $\vec{b}(-2; 3; 1)$.

Составим пропорцию для их координат: $$ \frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{2}{1} $$

Из последней части пропорции найдем коэффициент пропорциональности $k$: $$ k = \frac{2}{1} = 2 $$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти неизвестные значения $x$ и $y$.

Приравняем первую часть пропорции к найденному коэффициенту: $$ \frac{x}{-2} = 2 $$ $$ x = 2 \cdot (-2) $$ $$ x = -4 $$

Приравняем вторую часть пропорции к найденному коэффициенту: $$ \frac{y}{3} = 2 $$ $$ y = 2 \cdot 3 $$ $$ y = 6 $$

Таким образом, векторы будут коллинеарны при $x = -4$ и $y = 6$.

Ответ: $x = -4$, $y = 6$.

4.11. Найдите значения x и z, при которых векторы $\vec{m} (-1; 7; z)$ и $\vec{n} (x; 4; 5)$ будут коллинеарны.

Два вектора $\vec{a}(a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b}(b_1; b_2; b_3)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что выполняется равенство $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$.

Для данных векторов $\vec{m}(-1; 7; z)$ и $\vec{n}(x; 4; 5)$ условие коллинеарности можно записать в виде следующей пропорции:

$\frac{-1}{x} = \frac{7}{4} = \frac{z}{5}$

Из этой пропорции мы можем составить два уравнения для нахождения неизвестных $x$ и $z$.

1. Найдем значение $x$ из равенства:

$\frac{-1}{x} = \frac{7}{4}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$-1 \cdot 4 = 7 \cdot x$

$-4 = 7x$

$x = -\frac{4}{7}$

2. Найдем значение $z$ из равенства:

$\frac{7}{4} = \frac{z}{5}$

Аналогично, применяем перекрестное умножение:

$7 \cdot 5 = 4 \cdot z$

$35 = 4z$

$z = \frac{35}{4}$

Следовательно, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ будут коллинеарны при найденных значениях $x$ и $z$.

Ответ: $x = -\frac{4}{7}$, $z = \frac{35}{4}$.

4.12. Дан вектор $\vec{a}$ (3; 2; 1). Найдите коллинеарный ему вектор $\vec{AB}$, если A (1; 1; 1), а точка B принадлежит плоскости $yz$.

Поскольку искомый вектор $\vec{AB}$ коллинеарен вектору $\vec{a}(3; 2; 1)$, то существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что выполняется равенство: $\vec{AB} = k \cdot \vec{a}$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ можно выразить через $k$:
$\vec{AB} = (k \cdot 3; k \cdot 2; k \cdot 1) = (3k; 2k; k)$.

Пусть координаты точки $B$ равны $(x_B; y_B; z_B)$. Координаты точки $A$ даны и равны $(1; 1; 1)$. Тогда координаты вектора $\vec{AB}$ можно также найти, вычитая из координат конца координаты начала:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (x_B - 1; y_B - 1; z_B - 1)$.

Приравняем соответствующие координаты из двух полученных выражений для вектора $\vec{AB}$:
$x_B - 1 = 3k$
$y_B - 1 = 2k$
$z_B - 1 = k$

По условию задачи, точка $B$ принадлежит плоскости $yz$. Это означает, что ее координата по оси $x$ (абсцисса) равна нулю, то есть $x_B = 0$.

Подставим значение $x_B = 0$ в первое уравнение системы, чтобы найти значение $k$:
$0 - 1 = 3k$
$-1 = 3k$
$k = -\frac{1}{3}$

Теперь, когда мы нашли коэффициент $k$, мы можем вычислить координаты искомого вектора $\vec{AB}$, подставив это значение в выражение $\vec{AB} = (3k; 2k; k)$:
$\vec{AB} = (3 \cdot (-\frac{1}{3}); 2 \cdot (-\frac{1}{3}); -\frac{1}{3}) = (-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $\vec{AB}(-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

4.13. Даны точки A $(-3; 6; 4)$, B $(6; -1; 2)$ и C $(0; 3; -2)$. Найдите точку D, принадлежащую плоскости $xz$, такую, что $\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}$.

Пусть искомая точка $D$ имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка $D$ принадлежит плоскости $xz$. Это означает, что ее координата $y$ равна нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $(x; 0; z)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке $B(6; -1; 2)$ и концом в точке $C(0; 3; -2)$ имеем:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (0 - 6; 3 - (-1); -2 - 2) = (-6; 4; -4)$.

Для вектора $\vec{AD}$ с началом в точке $A(-3; 6; 4)$ и концом в точке $D(x; 0; z)$ имеем:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - (-3); 0 - 6; z - 4) = (x + 3; -6; z - 4)$.

По условию, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ параллельны ($\vec{AD} \parallel \vec{BC}$). Два ненулевых вектора параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$.

Запишем это равенство в координатной форме:

$(x + 3; -6; z - 4) = k \cdot (-6; 4; -4)$

Это равенство эквивалентно системе из трех уравнений:

$x + 3 = -6k$
$-6 = 4k$
$z - 4 = -4k$

Из второго уравнения находим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Подставим найденное значение $k$ в первое и третье уравнения системы, чтобы найти $x$ и $z$.

Из первого уравнения:

$x + 3 = -6 \cdot (-\frac{3}{2})$

$x + 3 = 9$

$x = 9 - 3 = 6$

Из третьего уравнения:

$z - 4 = -4 \cdot (-\frac{3}{2})$

$z - 4 = 6$

$z = 6 + 4 = 10$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(6; 0; 10)$.

Ответ: $D(6; 0; 10)$