Номер 4.13, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.13. Даны точки A $(-3; 6; 4)$, B $(6; -1; 2)$ и C $(0; 3; -2)$. Найдите точку D, принадлежащую плоскости $xz$, такую, что $\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}$.

Пусть искомая точка $D$ имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка $D$ принадлежит плоскости $xz$. Это означает, что ее координата $y$ равна нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $(x; 0; z)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке $B(6; -1; 2)$ и концом в точке $C(0; 3; -2)$ имеем:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (0 - 6; 3 - (-1); -2 - 2) = (-6; 4; -4)$.

Для вектора $\vec{AD}$ с началом в точке $A(-3; 6; 4)$ и концом в точке $D(x; 0; z)$ имеем:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - (-3); 0 - 6; z - 4) = (x + 3; -6; z - 4)$.

По условию, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ параллельны ($\vec{AD} \parallel \vec{BC}$). Два ненулевых вектора параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$.

Запишем это равенство в координатной форме:

$(x + 3; -6; z - 4) = k \cdot (-6; 4; -4)$

Это равенство эквивалентно системе из трех уравнений:

$x + 3 = -6k$
$-6 = 4k$
$z - 4 = -4k$

Из второго уравнения находим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Подставим найденное значение $k$ в первое и третье уравнения системы, чтобы найти $x$ и $z$.

Из первого уравнения:

$x + 3 = -6 \cdot (-\frac{3}{2})$

$x + 3 = 9$

$x = 9 - 3 = 6$

Из третьего уравнения:

$z - 4 = -4 \cdot (-\frac{3}{2})$

$z - 4 = 6$

$z = 6 + 4 = 10$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(6; 0; 10)$.

Ответ: $D(6; 0; 10)$