Номер 4.18, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.18. Точка $E$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{AE}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AE}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{AE}$ как сумму векторов, идущих по ломаной линии от точки A до точки E. Удобно выбрать путь через вершины куба, например, A → C → E.

Согласно правилу многоугольника для сложения векторов, можем записать:
$\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в правой части равенства ($\vec{AC}$ и $\vec{CE}$) через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании куба. По правилу параллелограмма (или по правилу треугольника для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
В кубе противоположные ребра параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$. Заменяя $\vec{BC}$ на $\vec{AD}$, получаем:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. По условию, точка E является серединой ребра $CC_1$. Это означает, что вектор $\vec{CE}$ направлен так же, как и вектор $\vec{CC_1}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом:
$\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$
Так как $AA_1C_1C$ является боковой гранью куба, ребра $CC_1$ и $AA_1$ параллельны и равны. Следовательно, соответствующие векторы также равны: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Подставим это в предыдущее выражение:
$\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

3. Теперь подставим найденные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CE}$ в исходную формулу для $\vec{AE}$:
$\vec{AE} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$
Убирая скобки, получаем окончательное разложение вектора $\vec{AE}$ по базисным векторам:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$