Номер 4.7, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.7. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$, если $D (2; -3; 4)$, $E (-1; 6; 2)$, $F (-2; 8; 6)$, $K (-3; 11; 7)$?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В координатной форме это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ должно выполняться равенство $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$, где $k$ — некоторое число (коэффициент пропорциональности).

Чтобы проверить коллинеарность векторов $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$, сначала найдем их координаты. Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{DE}$, где $D(2; -3; 4)$ и $E(-1; 6; 2)$:
$\overrightarrow{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (-1 - 2; 6 - (-3); 2 - 4) = (-3; 9; -2)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{FK}$, где $F(-2; 8; 6)$ и $K(-3; 11; 7)$:
$\overrightarrow{FK} = (x_K - x_F; y_K - y_F; z_K - z_F) = (-3 - (-2); 11 - 8; 7 - 6) = (-1; 3; 1)$.

3. Проверим условие коллинеарности для векторов $\overrightarrow{DE}(-3; 9; -2)$ и $\overrightarrow{FK}(-1; 3; 1)$. Для этого составим отношения их соответствующих координат:
Для координат по оси x: $\frac{-3}{-1} = 3$.
Для координат по оси y: $\frac{9}{3} = 3$.
Для координат по оси z: $\frac{-2}{1} = -2$.

Поскольку полученные отношения не равны между собой ($3 = 3 \neq -2$), условие пропорциональности координат не выполняется. Следовательно, векторы $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{FK}$ не являются коллинеарными.
Ответ: нет, векторы не коллинеарны.