Страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ и числа $k$, отличного от нуля?

2. Что можно сказать о векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ – некоторое число?

3. Известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, причём $\vec{a} \neq \vec{0}$. Как можно выразить вектор $\vec{b}$ через вектор $\vec{a}$?

4. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1; a_2; a_3)$. Чему равны координаты вектора $k\vec{a}$?

5. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны $(a_1; a_2; a_3)$ и $(ka_1; ka_2; ka_3)$?

6. Запишите сочетательное и распределительное свойства умножения вектора на число.

7. Сформулируйте необходимое и достаточное условия компланарности трёх векторов.

8. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трём данным не-компланарным векторам.

9. В каком случае говорят, что точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$?

10. Опишите преобразование фигуры $F$, которое называют гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$.

11. Сформулируйте свойства гомотетии.

12. Какая фигура является сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды?

1.

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ и числа $k$, отличного от нуля, называют такой вектор $\vec{b}$, что:

• его длина (модуль) равна $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$;
• его направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$;
• его направление противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$.

Ответ: Вектор, модуль которого равен произведению модуля данного вектора на модуль числа, а направление совпадает с направлением данного вектора, если число положительное, и противоположно ему, если число отрицательное.

2.

Если $\vec{b} = k\vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если $k > 0$, векторы сонаправлены. Если $k < 0$, векторы противоположно направлены. Если $k = 0$, то вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором. Если $\vec{a}$ — нулевой вектор, то и $\vec{b}$ — нулевой вектор.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

3.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \ne \vec{0}$, по определению коллинеарных векторов существует такое число $k$, что вектор $\vec{b}$ можно выразить через вектор $\vec{a}$ с помощью формулы $\vec{b} = k\vec{a}$.

Ответ: $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ – некоторое число.

4.

При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1; a_2; a_3)$, то вектор $k\vec{a}$ будет иметь координаты $(ka_1; ka_2; ka_3)$.

Ответ: Координаты вектора $k\vec{a}$ равны $(ka_1; ka_2; ka_3)$.

5.

Пусть $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b} = (ka_1; ka_2; ka_3)$. Координаты вектора $\vec{b}$ пропорциональны соответствующим координатам вектора $\vec{a}$ с коэффициентом пропорциональности $k$. Это является признаком коллинеарности векторов. Следовательно, эти векторы коллинеарны.

Ответ: Эти векторы коллинеарны.

6.

Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и любых чисел $k, l$ справедливы следующие свойства:

• Сочетательное свойство: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$
• Первое распределительное свойство (относительно сложения чисел): $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
• Второе распределительное свойство (относительно сложения векторов): $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Ответ: Сочетательное свойство: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$; распределительные свойства: $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ и $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

7.

Три вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ компланарны (лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях) тогда и только тогда, когда один из них можно выразить в виде линейной комбинации двух других. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то для компланарности вектора $\vec{c}$ с ними необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Если же все три вектора коллинеарны какой-либо прямой, они также считаются компланарными.

Ответ: Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других.

8.

Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам гласит: любой вектор в пространстве можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Это означает, что для любого вектора $\vec{p}$ и трёх некомпланарных векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ существует единственная тройка чисел $x, y, z$ такая, что $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.

Ответ: Любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$, где $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — данные некомпланарные векторы, а $x, y, z$ — коэффициенты разложения.

9.

Точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \ne 0$, если выполняется векторное равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$.

Ответ: В случае, если выполняется равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$.

10.

Гомотетией фигуры $F$ с центром $O$ и коэффициентом $k \ne 0$ называется преобразование, при котором каждая точка $X$ фигуры $F$ переходит в точку $X_1$ такую, что $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$. Множество всех точек $X_1$ образует фигуру $F_1$, которая называется образом фигуры $F$ при данной гомотетии.

Ответ: Преобразование, при котором каждая точка $X$ фигуры $F$ отображается на точку $X_1$ по правилу $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$.

11.

Основные свойства гомотетии:

• Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую или в саму себя (если прямая проходит через центр гомотетии).
• Гомотетия сохраняет углы между прямыми.
• При гомотетии с коэффициентом $k$ расстояние между любыми двумя точками изменяется в $|k|$ раз.
• Гомотетия переводит любую фигуру в подобную ей фигуру.

Ответ: Гомотетия переводит прямые в параллельные прямые, сохраняет углы и преобразует любую фигуру в подобную ей.

12.

Сечением пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, является многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании пирамиды. Вершина пирамиды является центром гомотетии, которая переводит основание в многоугольник сечения.

Ответ: Многоугольник, подобный основанию пирамиды.