Номер 4.35, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.35. Точки $M, F$ и $K$ — середины соответственно рёбер $BC, AD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$. На отрезке $AM$ отметили точку $P$, а на отрезке $CF$ — точку $E$ так, что $AP : PM = 4 : 1$, $CE : EF = 2 : 3$. Докажите, что прямые $PE$ и $BK$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых PE и BK воспользуемся векторным методом. Введем базис, приняв точку A за начало координат. Обозначим векторы: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AD} = \vec{d}$.

Выразим положения точек M, F, K через базисные векторы:

• Точка M — середина ребра BC, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• Точка F — середина ребра AD, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AF} = \frac{1}{2}(\vec{AA} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{d}$.
• Точка K — середина ребра CD, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$.

Теперь найдем радиус-векторы точек P и E, используя данные в условии отношения:

• Точка P делит отрезок AM в отношении $AP : PM = 4 : 1$. Следовательно, $\vec{AP} = \frac{4}{4+1}\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{AM}$. Подставив выражение для $\vec{AM}$, получим: $\vec{AP} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{2}{5}(\vec{b} + \vec{c})$.
• Точка E делит отрезок CF в отношении $CE : EF = 2 : 3$. По формуле деления отрезка в заданном отношении для векторов, проведенных из точки A: $\vec{AE} = \frac{3\vec{AC} + 2\vec{AF}}{3+2} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + 2\vec{AF})$. Подставив выражение для $\vec{AF}$, получим: $\vec{AE} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{1}{5}(3\vec{c} + \vec{d})$.

Теперь выразим векторы $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$ через базисные векторы:

• $\vec{PE} = \vec{AE} - \vec{AP} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + \vec{d}) - \frac{2}{5}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{5}(3\vec{c} + \vec{d} - 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \frac{1}{5}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.
• $\vec{BK} = \vec{AK} - \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) - \vec{b} = \frac{1}{2}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$. Мы видим, что они отличаются только числовым коэффициентом. Выразим один через другой:

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$

$\vec{BK} = \frac{1}{2}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \implies (-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = 2\vec{BK}$

Подставим второе выражение в первое:

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(2\vec{BK}) = \frac{2}{5}\vec{BK}$

Поскольку вектор $\vec{PE}$ равен вектору $\vec{BK}$, умноженному на скаляр $\frac{2}{5}$, векторы $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$ коллинеарны. Так как точки P, E, B, K не лежат на одной прямой (P лежит на AM, E на CF), то прямые PE и BK параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.