Номер 4.42, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.42. Даны параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ лежат на одной прямой или являются вершинами параллелограмма.

Воспользуемся методом векторов. Пусть начало координат O — произвольная точка в пространстве. Обозначим радиус-векторы вершин параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ и $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}, \vec{d_1}$ соответственно.

По свойству параллелограмма, сумма радиус-векторов противолежащих вершин равна. Таким образом, для параллелограмма $ABCD$ выполняется равенство:

$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$

Аналогично, для параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ выполняется равенство:

$\vec{a_1} + \vec{c_1} = \vec{b_1} + \vec{d_1}$

Пусть $K, L, M, N$ – середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Найдем их радиус-векторы:

$\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{a_1}}{2}$

$\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{b_1}}{2}$

$\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{d_1}}{2}$

Рассмотрим четырехугольник $KLMN$. Он является параллелограммом тогда и только тогда, когда середины его диагоналей $KM$ и $LN$ совпадают. Это условие эквивалентно векторному равенству $\frac{\vec{k} + \vec{m}}{2} = \frac{\vec{l} + \vec{n}}{2}$, или, что то же самое, $\vec{k} + \vec{m} = \vec{l} + \vec{n}$.

Найдем сумму радиус-векторов $\vec{k} + \vec{m}$:

$\vec{k} + \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{a_1}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{a_1} + \vec{c_1})}{2}$

И сумму радиус-векторов $\vec{l} + \vec{n}$:

$\vec{l} + \vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{b_1}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{d_1}}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{d}) + (\vec{b_1} + \vec{d_1})}{2}$

Используя свойства параллелограммов $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ и $\vec{a_1} + \vec{c_1} = \vec{b_1} + \vec{d_1}$, подставим их в выражение для $\vec{k} + \vec{m}$:

$\vec{k} + \vec{m} = \frac{(\vec{b} + \vec{d}) + (\vec{b_1} + \vec{d_1})}{2}$

Сравнивая полученные выражения для сумм, получаем, что $\vec{k} + \vec{m} = \vec{l} + \vec{n}$.

Это равенство означает, что середины диагоналей четырехугольника $KLMN$ совпадают. Такое условие выполняется для любого параллелограмма. Если точки $K, L, M, N$ не лежат на одной прямой, они являются вершинами параллелограмма. Если же они лежат на одной прямой, то параллелограмм является вырожденным. Таким образом, в обоих случаях утверждение задачи верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.