Номер 4.49, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.49. Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь — 432 см². Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь треугольника нам дана: $S = 432$ см². Основание равнобедренного треугольника, обозначим его $a$, равно $a = 48$ см. Нам необходимо найти длины боковых сторон, чтобы вычислить полупериметр.

1. Найдем высоту треугольника. Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $h$ – высота, проведенная к основанию $a$. Выразим из этой формулы высоту: $h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 432}{48} = \frac{864}{48} = 18$ см.

2. Найдем длину боковой стороны. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см. Эта высота, боковая сторона (обозначим ее $b$) и половина основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $b$: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$ $b^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$ $b = \sqrt{900} = 30$ см.

3. Найдем полупериметр и радиус вписанной окружности. Теперь, зная длины всех сторон треугольника ($48$ см, $30$ см, $30$ см), можем вычислить его полупериметр $p$: $p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{48 + 30 + 30}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см.

Наконец, подставляем значения площади и полупериметра в формулу для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{432}{54} = 8$ см.

Ответ: 8 см.