Номер 5.5, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.5. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, $\left|\vec{a}\right| = 3$, $\left|\vec{b}\right| = 3\sqrt{2}$. Найдите:

1) $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} $;

2) $ (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} $;

3) $ (\vec{a} - \vec{b})^2 $.

Для решения задачи нам даны следующие условия:

• Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 45^\circ $.
• Длина (модуль) вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = 3 $.
• Длина (модуль) вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = 3\sqrt{2} $.

Для решения всех пунктов нам понадобится скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, а также квадраты их длин. Вычислим их заранее.

Скалярное произведение векторов по определению равно:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(45^\circ) $

Подставляем известные значения:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} = 9. $

Теперь вычислим квадраты длин векторов:

$ |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9. $

$ |\vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18. $

Теперь мы можем найти значения для каждого из выражений.

1) $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} $

Используя свойство дистрибутивности (распределительности) скалярного произведения, раскроем скобки:

$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} $

Мы знаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $ \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 $. Подставим вычисленные ранее значения:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 + 18 = 27. $

Ответ: 27.

2) $ (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} $

Снова воспользуемся свойством дистрибутивности, чтобы раскрыть скобки:

$ (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = (2\vec{a}) \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} $

Упростим выражение, учитывая, что $ (2\vec{a}) \cdot \vec{a} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2 $ и $ \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} $:

$ 2|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} $

Подставим известные значения:

$ 2 \cdot 9 - 9 = 18 - 9 = 9. $

Ответ: 9.

3) $ (\vec{a} - \vec{b})^2 $

Квадрат выражения с векторами представляет собой скалярное произведение этого выражения на само себя. Можно использовать формулу, аналогичную формуле квадрата разности для чисел:

$ (\vec{a} - \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} $

Это выражение равносильно:

$ |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 $

Подставим все вычисленные значения:

$ 9 - 2 \cdot 9 + 18 = 9 - 18 + 18 = 9. $

Ответ: 9.