Номер 4.47, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.47. Точки $M, N$ и $K$ — середины соответственно рёбер $BD, CD$ и $AB$ тетраэдра $DABC$. На прямых $BN$ и $CK$ отмечены соответственно точки $F$ и $E$ так, что $FE \parallel AM$. Найдите отношение $\frac{FE}{AM}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему векторов с началом в точке $D$. Обозначим $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$.

По условию, точки $M$, $N$ и $K$ — середины рёбер $BD$, $CD$ и $AB$ соответственно. Выразим радиус-векторы этих точек и вектор $\vec{AM}$:

Радиус-вектор точки $M$: $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Радиус-вектор точки $N$: $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
Радиус-вектор точки $K$: $\vec{DK} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DB}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
Вектор $\vec{AM} = \vec{DM} - \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

Точка $F$ лежит на прямой $BN$. Это значит, что ее радиус-вектор $\vec{DF}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DN}$:
$\vec{DF} = (1-t)\vec{DB} + t\vec{DN} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{c}) = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}$ для некоторого скаляра $t$.

Точка $E$ лежит на прямой $CK$. Это значит, что ее радиус-вектор $\vec{DE}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DK}$:
$\vec{DE} = (1-s)\vec{DC} + s\vec{DK} = (1-s)\vec{c} + s(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})) = \frac{s}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + (1-s)\vec{c}$ для некоторого скаляра $s$.

Теперь выразим вектор $\vec{FE}$:
$\vec{FE} = \vec{DE} - \vec{DF} = (\frac{s}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + (1-s)\vec{c}) - ((1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}) = \frac{s}{2}\vec{a} + (\frac{s}{2} - 1 + t)\vec{b} + (1 - s - \frac{t}{2})\vec{c}$.

По условию задачи, прямая $FE$ параллельна прямой $AM$, следовательно, вектор $\vec{FE}$ коллинеарен вектору $\vec{AM}$. Это означает, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{FE} = \lambda \vec{AM}$.
$\frac{s}{2}\vec{a} + (\frac{s}{2} - 1 + t)\vec{b} + (1 - s - \frac{t}{2})\vec{c} = \lambda (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) = -\lambda\vec{a} + \frac{\lambda}{2}\vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не компланарны (так как $DABC$ — тетраэдр), мы можем приравнять коэффициенты при этих векторах в левой и правой частях равенства. Получим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{s}{2} = -\lambda \\ \frac{s}{2} - 1 + t = \frac{\lambda}{2} \\ 1 - s - \frac{t}{2} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения: $s = -2\lambda$.
Подставим $s$ в третье уравнение: $1 - (-2\lambda) - \frac{t}{2} = 0 \Rightarrow 1 + 2\lambda = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2 + 4\lambda$.
Подставим $s$ и $t$ во второе уравнение:
$\frac{-2\lambda}{2} - 1 + (2 + 4\lambda) = \frac{\lambda}{2}$
$-\lambda - 1 + 2 + 4\lambda = \frac{\lambda}{2}$
$3\lambda + 1 = \frac{\lambda}{2}$
$3\lambda - \frac{\lambda}{2} = -1$
$\frac{6\lambda - \lambda}{2} = -1$
$\frac{5\lambda}{2} = -1$
$\lambda = -\frac{2}{5}$

Искомое отношение $\frac{FE}{AM}$ равно модулю коэффициента коллинеарности $\lambda$.
$\frac{FE}{AM} = |\lambda| = |-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.