Номер 5.52, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.52. Рёбра $AB$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. На ребре $AB$ отметили точки $M$ и $N$, а на ребре $CD$ — точки $P$ и $K$ так, что $AM = NB = CP = KD = 1$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $MP$ и $NK$.

Для решения данной задачи наиболее удобен векторный метод. Пусть $E$ — середина отрезка $MP$, а $F$ — середина отрезка $NK$. Нам необходимо найти длину отрезка $EF$, то есть модуль вектора $\vec{EF}$.

Выразим радиус-векторы точек $E$ и $F$ через радиус-векторы концов соответствующих отрезков, выбрав произвольное начало координат $O$: $\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{OP})$ $\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{ON} + \vec{OK})$

Теперь найдем вектор $\vec{EF}$: $\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{ON} + \vec{OK}) - \frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{OP})$ Сгруппируем слагаемые: $\vec{EF} = \frac{1}{2}[(\vec{ON} - \vec{OM}) + (\vec{OK} - \vec{OP})]$ Так как разность радиус-векторов есть вектор, соединяющий их концы, то: $\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{MN}$ $\vec{OK} - \vec{OP} = \vec{PK}$ Таким образом, получаем: $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{MN} + \vec{PK})$

Длина отрезка $EF$ равна модулю вектора $\vec{EF}$. Найдем квадрат длины: $|\vec{EF}|^2 = \vec{EF} \cdot \vec{EF} = \frac{1}{4}(\vec{MN} + \vec{PK}) \cdot (\vec{MN} + \vec{PK})$ Раскрывая скалярное произведение, получаем: $|\vec{EF}|^2 = \frac{1}{4}(|\vec{MN}|^2 + 2 \cdot \vec{MN} \cdot \vec{PK} + |\vec{PK}|^2)$

Теперь определим значения величин в этой формуле. Точки $M$ и $N$ лежат на ребре $AB$. По условию $AB=3$ см, $AM=1$ см, $NB=1$ см. Тогда длина отрезка $MN$ равна: $MN = AB - AM - NB = 3 - 1 - 1 = 1$ см. Значит, $|\vec{MN}| = 1$.

Точки $P$ и $K$ лежат на ребре $CD$. По условию $CD=3$ см, $CP=1$ см, $KD=1$ см. Тогда длина отрезка $PK$ равна: $PK = CD - CP - KD = 3 - 1 - 1 = 1$ см. Значит, $|\vec{PK}| = 1$.

По условию задачи рёбра $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Вектор $\vec{MN}$ направлен вдоль прямой $AB$, а вектор $\vec{PK}$ — вдоль прямой $CD$. Следовательно, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ также перпендикулярны. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{MN} \cdot \vec{PK} = 0$.

Подставим найденные значения в формулу для квадрата длины $EF$: $|\vec{EF}|^2 = \frac{1}{4}(1^2 + 2 \cdot 0 + 1^2) = \frac{1}{4}(1 + 0 + 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим искомую длину отрезка $EF$: $EF = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.