Номер 5.45, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.45. Рёбра $AB$ и $BC$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно $1$ см и $\sqrt{7}$ см. Угол между прямыми $CB_1$ и $BD_1$ равен $45^\circ$. Найдите ребро $AA_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длина искомого ребра $AA_1$ равна $h$. Тогда $h > 0$.

В данной системе координат найдем координаты необходимых нам вершин параллелепипеда:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(AB, 0, 0) = (1, 0, 0)$
• $C(AB, BC, 0) = (1, \sqrt{7}, 0)$
• $B_1(AB, 0, AA_1) = (1, 0, h)$
• $D_1(0, BC, AA_1) = (0, \sqrt{7}, h)$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $CB_1$ и $BD_1$.

Для прямой $CB_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{a} = \vec{CB_1}$:

$\vec{a} = \{1-1; 0-\sqrt{7}; h-0\} = \{0; -\sqrt{7}; h\}$

Для прямой $BD_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{b} = \vec{BD_1}$:

$\vec{b} = \{0-1; \sqrt{7}-0; h-0\} = \{-1; \sqrt{7}; h\}$

Угол $\alpha$ между двумя прямыми можно найти с помощью формулы, использующей скалярное произведение их направляющих векторов:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По условию, угол $\alpha = 45^\circ$, следовательно, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-1) + (-\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} + h \cdot h = 0 - 7 + h^2 = h^2 - 7$

Теперь вычислим модули (длины) этих векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{7})^2 + h^2} = \sqrt{7 + h^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{7})^2 + h^2} = \sqrt{1 + 7 + h^2} = \sqrt{8 + h^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|h^2 - 7|}{\sqrt{7 + h^2} \cdot \sqrt{8 + h^2}}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(|h^2 - 7|)^2}{(\sqrt{(7 + h^2)(8 + h^2)})^2}$

$\frac{2}{4} = \frac{(h^2 - 7)^2}{(7 + h^2)(8 + h^2)}$

$\frac{1}{2} = \frac{h^4 - 14h^2 + 49}{h^4 + 15h^2 + 56}$

Выполним перекрестное умножение:

$1 \cdot (h^4 + 15h^2 + 56) = 2 \cdot (h^4 - 14h^2 + 49)$

$h^4 + 15h^2 + 56 = 2h^4 - 28h^2 + 98$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение:

$2h^4 - h^4 - 28h^2 - 15h^2 + 98 - 56 = 0$

$h^4 - 43h^2 + 42 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = h^2$. Так как $h$ - это длина, то $h > 0$ и $x > 0$.

$x^2 - 43x + 42 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 43, а их произведение равно 42. Корни легко находятся:

$x_1 = 1$

$x_2 = 42$

Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми решениями для $h^2$.

Возвращаемся к переменной $h$:

1. $h^2 = 1 \implies h = \sqrt{1} = 1$ см.

2. $h^2 = 42 \implies h = \sqrt{42}$ см.

Оба значения являются решениями задачи. Таким образом, существуют два прямоугольных параллелепипеда с заданными ребрами основания, удовлетворяющих условию об угле.

Ответ: 1 см или $\sqrt{42}$ см.