Номер 5.41, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.41. Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно равны 2 см и 5 см. Точка $K$ — середина ребра $BC$. Найдите расстояние от точки $C$ до центроида тетраэдра $KVAB_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Тогда основание $ABC$ призмы будет лежать в плоскости $Oxy$.

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ со стороной $a=2$ см. Боковое ребро призмы равно $h=5$ см.

Определим координаты вершин и точек, необходимых для решения задачи:

• Точка $A$ совпадает с началом координат: $A(0, 0, 0)$.
• Точка $B$ лежит на оси $Ox$: $B(2, 0, 0)$.
• Координаты точки $C$ найдем, зная, что $ABC$ — равносторонний треугольник. Высота треугольника, проведенная из $C$ к стороне $AB$, равна $h_{\triangle} = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Основание этой высоты — середина отрезка $AB$, то есть точка с координатой $x=1$. Таким образом, $C(1, \sqrt{3}, 0)$.
• Точка $B_1$ является проекцией точки $B$ на верхнее основание, поэтому $B_1(2, 0, 5)$.
• Точка $K$ — середина ребра $BC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B$ и $C$:
  $K = \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$.

Тетраэдр $KBAB_1$ задан вершинами $K(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $A(0, 0, 0)$ и $B_1(2, 0, 5)$.

Центроид тетраэдра $M$ — это точка, координаты которой равны среднему арифметическому координат его вершин. Найдем координаты центроида $M(x_M, y_M, z_M)$:

$x_M = \frac{x_K + x_B + x_A + x_{B_1}}{4} = \frac{\frac{3}{2} + 2 + 0 + 2}{4} = \frac{\frac{11}{2}}{4} = \frac{11}{8}$.

$y_M = \frac{y_K + y_B + y_A + y_{B_1}}{4} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + 0 + 0}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

$z_M = \frac{z_K + z_B + z_A + z_{B_1}}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 5}{4} = \frac{5}{4}$.

Таким образом, центроид $M$ имеет координаты $M\left(\frac{11}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4}\right)$.

Теперь найдем расстояние от точки $C(1, \sqrt{3}, 0)$ до центроида $M$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$d = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2}$.

$|CM| = \sqrt{\left(\frac{11}{8} - 1\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{8} - \sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{4} - 0\right)^2}$
$= \sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(-\frac{7\sqrt{3}}{8}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{49 \cdot 3}{64} + \frac{25}{16}}$
$= \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{147}{64} + \frac{100}{64}}$
$= \sqrt{\frac{9 + 147 + 100}{64}} = \sqrt{\frac{256}{64}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2 см.