Номер 5.37, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.37. Основанием пирамиды $DABC$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AB = BC$, $\angle DBA = \angle DBC$. Докажите, что $BD \perp AC$.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔCBD$.

Согласно условию задачи, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Также дано, что $\angle DBA = \angle DBC$. Сторона $BD$ является общей для треугольников $ΔABD$ и $ΔCBD$.

Следовательно, $ΔABD = ΔCBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = CD$. Это означает, что треугольник $ADC$ также является равнобедренным с основанием $AC$.

Проведем медиану $BM$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ к его основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $BM \perp AC$.

Точка $M$ — середина отрезка $AC$. Так как треугольник $ADC$ равнобедренный с основанием $AC$, то отрезок $DM$, соединяющий вершину $D$ с серединой основания $M$, является его медианой. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию также является высотой, следовательно, $DM \perp AC$.

Мы получили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $DM$. Эти две прямые лежат в плоскости $BDM$ и пересекаются в точке $M$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDM$.

Прямая $BD$ принадлежит плоскости $BDM$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD$, или, что то же самое, $BD \perp AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $BD \perp AC$, доказано.