Номер 5.44, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.44. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$.

Известно, что $\angle DAB = 60^\circ$, а рёбра $AB, AD$ и $AA_1$ соответственно относятся как $1 : 4 : 2$.

Точка $O$ — центр грани $CC_1B_1B$.

На прямой $A_1D_1$ отметили точку $M$ так, что прямые $D_1O$ и $CM$ перпендикулярны.

Найдите отношение $A_1M : MD_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$, так как параллелепипед прямой. Плоскость $Oxy$ будет совпадать с плоскостью основания $ABCD$.

Из условия известно, что ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ относятся как $1:4:2$. Для удобства вычислений, не нарушая общности, примем длины этих ребер равными $1$, $4$ и $2$ соответственно. Тогда $|AB| = 1$, $|AD| = 4$, $|AA_1| = 2$.

Найдем координаты вершин параллелепипеда. Точка $A$ — начало координат: $A(0, 0, 0)$. Точка $B$ лежит на оси $Ox$: $B(1, 0, 0)$. Точка $D$ лежит в плоскости $Oxy$, $|AD|=4$ и $\angle DAB = 60^\circ$, поэтому ее координаты $D(4 \cdot \cos(60^\circ), 4 \cdot \sin(60^\circ), 0) = D(2, 2\sqrt{3}, 0)$. Координаты точки $C$ находим из векторного равенства $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$: $C(1+2, 0+2\sqrt{3}, 0) = C(3, 2\sqrt{3}, 0)$. Координаты вершин верхнего основания получаются сдвигом вершин нижнего основания на вектор $\vec{AA_1} = (0, 0, 2)$: $A_1(0, 0, 2)$, $B_1(1, 0, 2)$, $C_1(3, 2\sqrt{3}, 2)$, $D_1(2, 2\sqrt{3}, 2)$.

Точка $O$ — центр грани $CC_1B_1B$. Ее координаты — это полусумма координат вершин, например, $C$ и $B_1$: $O = \left(\frac{3+1}{2}, \frac{2\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (2, \sqrt{3}, 1)$.

Точка $M$ лежит на прямой $A_1D_1$. Векторное уравнение этой прямой имеет вид $\vec{M} = \vec{A_1} + t \cdot \vec{A_1D_1}$ для некоторого параметра $t$. Вектор $\vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (2, 2\sqrt{3}, 2) - (0, 0, 2) = (2, 2\sqrt{3}, 0)$. Тогда координаты точки $M$: $M = (0, 0, 2) + t(2, 2\sqrt{3}, 0) = (2t, 2\sqrt{3}t, 2)$.

По условию прямые $D_1O$ и $CM$ перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: $\vec{D_1O} \cdot \vec{CM} = 0$. Найдем координаты этих векторов: $\vec{D_1O} = O - D_1 = (2, \sqrt{3}, 1) - (2, 2\sqrt{3}, 2) = (0, -\sqrt{3}, -1)$. $\vec{CM} = M - C = (2t, 2\sqrt{3}t, 2) - (3, 2\sqrt{3}, 0) = (2t-3, 2\sqrt{3}t - 2\sqrt{3}, 2) = (2t-3, 2\sqrt{3}(t-1), 2)$.

Вычислим скалярное произведение и решим уравнение относительно $t$: $\vec{D_1O} \cdot \vec{CM} = 0 \cdot (2t-3) + (-\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}(t-1)) + (-1) \cdot 2 = 0$. Из чего следует: $-6(t-1) - 2 = 0$ $-6t + 6 - 2 = 0$ $-6t + 4 = 0$ $t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Искомое отношение $A_1M:MD_1$ соответствует отношению, в котором точка $M$ делит отрезок $A_1D_1$. Вектор $\vec{A_1M} = t \cdot \vec{A_1D_1}$, а вектор $\vec{MD_1} = (1-t)\vec{A_1D_1}$. Так как $0 < t < 1$, точка $M$ находится между $A_1$ и $D_1$. Отношение длин отрезков равно отношению $|t|:|1-t|$. Подставляя $t = 2/3$, получаем: $A_1M:MD_1 = \frac{2}{3} : \left(1-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2:1$.

Ответ: $2:1$.