Номер 5.50, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.50. Основанием тетраэдра $DABC$ является равносторонний треугольник $ABC$. Ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол и расстояние между прямыми $DM$ и $CN$, если известно, что $AB = 4$ см, $DC = \sqrt{2}$ см.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Так как ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$, разместим начало координат в точке $C$. Ось $Cz$ направим вдоль ребра $CD$. Оси $Cx$ и $Cy$ расположим в плоскости $ABC$. Направим ось $Cx$ вдоль прямой $CB$.

Найдем координаты вершин тетраэдра и точек $M$ и $N$.

• Точка $C$ — начало координат, ее координаты $C(0, 0, 0)$.
• Так как $DC = \sqrt{2}$, а точка $D$ лежит на оси $Cz$, ее координаты $D(0, 0, \sqrt{2})$.
• Треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной $AB=4$ см, значит $BC=AC=4$ см.
• Точка $B$ лежит на оси $Cx$ на расстоянии 4 от начала координат, ее координаты $B(4, 0, 0)$.
• Найдем координаты точки $A$. В плоскости $Oxy$ ее аппликата равна 0. Координаты точки $A$ в плоскости $ABC$ можно найти, зная, что $AC=4$ и $\angle BCA = 60^\circ$. Тогда $x_A = AC \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, а $y_A = AC \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, координаты точки $A(2, 2\sqrt{3}, 0)$.
• Точка $M$ — середина ребра $BC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B$ и $C$: $M\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)$, то есть $M(2, 0, 0)$.
• Точка $N$ — середина ребра $AB$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$: $N\left(\frac{2+4}{2}, \frac{2\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)$, то есть $N(3, \sqrt{3}, 0)$.

Нахождение угла между прямыми DM и CN

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между их направляющими векторами. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{DM}$ и $\vec{CN}$.

$\vec{DM} = \{x_M - x_D; y_M - y_D; z_M - z_D\} = \{2 - 0; 0 - 0; 0 - \sqrt{2}\} = \{2; 0; -\sqrt{2}\}$.

$\vec{CN} = \{x_N - x_C; y_N - y_C; z_N - z_C\} = \{3 - 0; \sqrt{3} - 0; 0 - 0\} = \{3; \sqrt{3}; 0\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле:$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{DM} \cdot \vec{CN} = 2 \cdot 3 + 0 \cdot \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) \cdot 0 = 6$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{DM}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 0 + 2} = \sqrt{6}$.

$|\vec{CN}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 3 + 0} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|6|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Нахождение расстояния между прямыми DM и CN

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ соответственно, можно найти по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

В нашем случае прямая $DM$ проходит через точку $D(0, 0, \sqrt{2})$ с направляющим вектором $\vec{DM} = \{2; 0; -\sqrt{2}\}$. Прямая $CN$ проходит через точку $C(0, 0, 0)$ с направляющим вектором $\vec{CN} = \{3; \sqrt{3}; 0\}$. В качестве вектора $\vec{P_1P_2}$ возьмем вектор $\vec{CD} = \{0; 0; \sqrt{2}\}$.

Найдем векторное произведение $\vec{DM} \times \vec{CN}$:

$\vec{DM} \times \vec{CN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -\sqrt{2} \\ 3 & \sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-\sqrt{2}) \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 3) = \sqrt{6}\mathbf{i} - 3\sqrt{2}\mathbf{j} + 2\sqrt{3}\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{DM} \times \vec{CN} = \{\sqrt{6}; -3\sqrt{2}; 2\sqrt{3}\}$.

Теперь найдем смешанное произведение $(\vec{CD}) \cdot (\vec{DM} \times \vec{CN})$:

$(\vec{CD}) \cdot (\vec{DM} \times \vec{CN}) = 0 \cdot \sqrt{6} + 0 \cdot (-3\sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{DM} \times \vec{CN}| = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 18 + 12} = \sqrt{36} = 6$.

Наконец, вычислим расстояние:

$d = \frac{|2\sqrt{6}|}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.