Номер 5.43, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.43. Основанием тетраэдра $DABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$. Точка $N$ — середина гипотенузы $AB$. Медианы треугольника $ADC$ пересекаются в точке $M$. На прямой $CD$ отметили точку $K$ так, что прямые $BM$ и $KN$ перпендикулярны. Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что $\angle DCA = \angle DCB = 60^{\circ}$, $CB = CD = 2$ см и $CA = 1$ см.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поскольку по условию основанием тетраэдра является прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, прямой угол в этом треугольнике — это угол $C$. Разместим начало системы координат в точке $C(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль катета $CA$, а ось $Oy$ вдоль катета $CB$. Тогда, согласно данным $CA = 1$ см и $CB = 2$ см, координаты вершин основания будут:$C(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$.

Найдем координаты вершины D.Пусть точка $D$ имеет координаты $(x, y, z)$. Длина отрезка $CD$ равна 2 см, значит $|\vec{CD}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = 2$, или $x^2+y^2+z^2 = 4$. Векторы, соответствующие сторонам, имеют координаты: $\vec{CA}=(1, 0, 0)$ и $\vec{CB}=(0, 2, 0)$. Угол $\angle DCA = 60^\circ$. Используя определение скалярного произведения векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$:$\vec{CA} \cdot \vec{CD} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\angle DCA)$$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)$$x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Аналогично для угла $\angle DCB = 60^\circ$:$\vec{CB} \cdot \vec{CD} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\angle DCB)$$0 \cdot x + 2 \cdot y + 0 \cdot z = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)$$2y = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, откуда $y = 1$.

Теперь найдем $z$ из уравнения длины вектора $\vec{CD}$:$x^2+y^2+z^2 = 4$$1^2+1^2+z^2 = 4$$2+z^2 = 4 \implies z^2=2 \implies z = \sqrt{2}$ (выбираем положительное значение, так как ориентация тетраэдра не влияет на итоговый результат).Таким образом, координаты точки $D(1, 1, \sqrt{2})$.

Найдем координаты точек N и M.Точка $N$ — середина гипотенузы $AB$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$:$N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ADC$. Она является его центроидом. Ее координаты равны среднему арифметическому координат вершин $A$, $D$ и $C$:$M = \left(\frac{1+1+0}{3}, \frac{0+1+0}{3}, \frac{0+\sqrt{2}+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Используем условие перпендикулярности прямых BM и KN.Точка $K$ лежит на прямой $CD$. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ коллинеарен вектору $\vec{CD}$.$\vec{CD} = (1-0, 1-0, \sqrt{2}-0) = (1, 1, \sqrt{2})$. Следовательно, $\vec{CK} = \lambda \cdot \vec{CD} = (\lambda, \lambda, \lambda\sqrt{2})$ для некоторого скаляра $\lambda$. Координаты точки $K$ равны координатам ее радиус-вектора $\vec{CK}$, то есть $K(\lambda, \lambda, \lambda\sqrt{2})$.

Найдем векторы, задающие направления прямых $BM$ и $KN$:$\vec{BM} = M - B = \left(\frac{2}{3}-0, \frac{1}{3}-2, \frac{\sqrt{2}}{3}-0\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.$\vec{KN} = N - K = \left(\frac{1}{2}-\lambda, 1-\lambda, 0-\lambda\sqrt{2}\right) = \left(\frac{1}{2}-\lambda, 1-\lambda, -\lambda\sqrt{2}\right)$.

Прямые $BM$ и $KN$ перпендикулярны, значит, скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю:$\vec{BM} \cdot \vec{KN} = 0$$\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}-\lambda\right) + \left(-\frac{5}{3}\right)(1-\lambda) + \frac{\sqrt{2}}{3}(-\lambda\sqrt{2}) = 0$. Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателей:$2\left(\frac{1}{2}-\lambda\right) - 5(1-\lambda) + \sqrt{2}(-\lambda\sqrt{2}) = 0$$1 - 2\lambda - 5 + 5\lambda - 2\lambda = 0$$(-2+5-2)\lambda + (1-5) = 0$$\lambda - 4 = 0 \implies \lambda = 4$.

Найдем длину отрезка CK.Координаты точки $K$ при $\lambda=4$ равны $(4, 4, 4\sqrt{2})$. Длина отрезка $CK$ — это расстояние от точки $C(0,0,0)$ до точки $K$:$CK = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (4\sqrt{2}-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16 \cdot 2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$. Длина отрезка $CK$ равна 8 см.

Ответ: 8 см.