Номер 5.42, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.42. Все грани четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются ромбами. Известно, что $AB = 3$ см, $\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ$. Найдите расстояние от точки $A$ до точки пересечения медиан треугольника $BC_1D$.

Поскольку все грани призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются ромбами, то все ее ребра равны между собой. Из условия $AB = 3$ см следует, что длина каждого ребра призмы равна 3 см. Углы при вершине $A$ трехгранного угла, образованного ребрами $AB$, $AD$ и $AA_1$, равны $60^\circ$: $\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ$.

Для нахождения расстояния от точки $A$ до точки пересечения медиан (центроида) треугольника $BC_1D$ воспользуемся векторным методом. Примем точку $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда положение любой точки $X$ в пространстве будет определяться ее радиус-вектором $\vec{AX}$.

Обозначим векторы, исходящие из вершины $A$: $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$, $\vec{a_1} = \vec{AA_1}$. По условию задачи, их длины равны:$|\vec{b}| = |\vec{d}| = |\vec{a_1}| = 3$.

Найдем скалярные произведения этих векторов, учитывая, что угол между любыми двумя из них равен $60^\circ$:$\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| \cdot |\vec{d}| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$. Аналогично, $\vec{d} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$ и $\vec{b} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $BC_1D$. Радиус-вектор центроида $M$ равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника:$\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC_1} + \vec{AD})$. Здесь $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$.

Найдем радиус-вектор $\vec{AC_1}$. Вектор $\vec{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. Таким образом, его можно выразить как сумму этих векторов:$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{a_1}$.

Теперь подставим выражение для $\vec{AC_1}$ в формулу радиус-вектора точки $M$:$\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + (\vec{b} + \vec{d} + \vec{a_1}) + \vec{d}) = \frac{1}{3}(2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1})$.

Искомое расстояние от точки $A$ до точки $M$ равно длине (модулю) вектора $\vec{AM}$. Найдем квадрат этой длины:$AM^2 = |\vec{AM}|^2 = \left| \frac{1}{3}(2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1}) \right|^2 = \frac{1}{9} (2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1}) \cdot (2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1})$.

Раскроем скалярное произведение:$(2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1})^2 = 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + 2(2\vec{b} \cdot 2\vec{d}) + 2(2\vec{b} \cdot \vec{a_1}) + 2(2\vec{d} \cdot \vec{a_1})$$= 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + 8(\vec{b} \cdot \vec{d}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{a_1}) + 4(\vec{d} \cdot \vec{a_1})$.

Подставим ранее найденные значения:$|\vec{b}|^2 = 9$, $|\vec{d}|^2 = 9$, $|\vec{a_1}|^2 = 9$.$\vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{9}{2}$, $\vec{b} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$, $\vec{d} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$.

Выполним вычисления:$4(9) + 4(9) + 9 + 8\left(\frac{9}{2}\right) + 4\left(\frac{9}{2}\right) + 4\left(\frac{9}{2}\right) = 36 + 36 + 9 + 36 + 18 + 18 = 153$.

Теперь найдем квадрат расстояния $AM^2$:$AM^2 = \frac{1}{9} \cdot 153 = 17$.

Следовательно, искомое расстояние $AM$ равно:$AM = \sqrt{17}$ см.

Ответ: $\sqrt{17}$ см.