Номер 5.36, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.36. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Точки $M$ и $K$ — соответственно середины рёбер $AA_1$ и $AD$, точка $O$ — центр грани $CC_1 D_1 D$. Докажите, что прямые $B_1 K$ и $MO$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности прямых $B_1K$ и $MO$ воспользуемся координатным методом.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $DC$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $DD_1$. Для удобства вычислений примем длину ребра куба равной 2.

В данной системе координат найдем координаты необходимых точек:

• Вершина $D$ — начало координат: $D(0; 0; 0)$.
• Вершина $A$: $A(2; 0; 0)$.
• Вершина $C$: $C(0; 2; 0)$.
• Вершина $A_1$: $A_1(2; 0; 2)$.
• Вершина $D_1$: $D_1(0; 0; 2)$.
• Вершина $B_1$: $B_1(2; 2; 2)$.

Теперь определим координаты точек $M$, $K$ и $O$ согласно условию задачи:

• Точка $K$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $K\left(\frac{2+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (1; 0; 0)$.
• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $M\left(\frac{2+2}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = (2; 0; 1)$.
• Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Ее координаты являются полусуммой координат противоположных вершин, например, $C$ и $D_1$: $O\left(\frac{0+0}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = (0; 1; 1)$.

Далее найдем координаты направляющих векторов для прямых $B_1K$ и $MO$.

Для прямой $B_1K$ направляющим вектором является вектор $\vec{B_1K}$:
$\vec{B_1K} = (x_K - x_{B_1}; y_K - y_{B_1}; z_K - z_{B_1}) = (1-2; 0-2; 0-2) = (-1; -2; -2)$.

Для прямой $MO$ направляющим вектором является вектор $\vec{MO}$:
$\vec{MO} = (x_O - x_M; y_O - y_M; z_O - z_M) = (0-2; 1-0; 1-1) = (-2; 1; 0)$.

Чтобы доказать, что прямые $B_1K$ и $MO$ перпендикулярны, необходимо показать, что их направляющие векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{B_1K}$ и $\vec{MO}$:
$\vec{B_1K} \cdot \vec{MO} = (-1) \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{B_1K}$ и $\vec{MO}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $B_1K$ и $MO$ также перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.