Номер 5.33, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.33. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$ при вершине $A$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A:

$\vec{AB} = \vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{d}$

$\vec{AA_1} = \vec{h}$

По условию, основанием является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$ при вершине A. Это означает, что:

$|\vec{b}| = a$

$|\vec{d}| = a$

Угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{d}$ равен $60^\circ$.

Поскольку параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой, его боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$. Следовательно, вектор $\vec{h}$ перпендикулярен векторам $\vec{b}$ и $\vec{d}$, а их скалярные произведения равны нулю:

$\vec{h} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{h} \cdot \vec{d} = 0$

Найдем скалярное произведение векторов, лежащих в основании:

$\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Теперь выразим искомые векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD_1}$ через базисные векторы.

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания. По правилу параллелограмма для сложения векторов:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

Вектор $\vec{CD_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CD}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$

В ромбе $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.

Вектор $\vec{DD_1}$ — это боковое ребро, которое параллельно и равно $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{h}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{CD_1} = -\vec{b} + \vec{h}$

Теперь вычислим искомое скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = (\vec{b} + \vec{d}) \cdot (-\vec{b} + \vec{h})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$(\vec{b} + \vec{d}) \cdot (-\vec{b} + \vec{h}) = \vec{b} \cdot (-\vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{h} + \vec{d} \cdot (-\vec{b}) + \vec{d} \cdot \vec{h}$

Подставим ранее найденные значения скалярных произведений базисных векторов:

$\vec{b} \cdot (-\vec{b}) = -(\vec{b} \cdot \vec{b}) = -|\vec{b}|^2 = -a^2$

$\vec{b} \cdot \vec{h} = 0$

$\vec{d} \cdot (-\vec{b}) = -(\vec{d} \cdot \vec{b}) = -\frac{a^2}{2}$

$\vec{d} \cdot \vec{h} = 0$

Сложим полученные результаты:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = -a^2 + 0 - \frac{a^2}{2} + 0 = -a^2 - \frac{a^2}{2} = -\frac{3a^2}{2}$

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$