gdz.top
Номер 5.35, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-10036-2
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 1. Координаты и векторы в пространстве. Параграф 5. Скалярное произведение векторов - номер 5.35, страница 50.
№5.34
№5.35 (с. 50)
Условие. №5.35 (с. 50)
5.35. Точка $O$ – центр грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $OC$ и $B_1D$.
Решение 1. №5.35 (с. 50)
Решение 2. №5.35 (с. 50)
Решение 3. №5.35 (с. 50)
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $OC$ и $B_1D$ воспользуемся координатно-векторным методом.
Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.
В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
- $A(0; 0; 0)$
- $B(a; 0; 0)$
- $C(a; a; 0)$
- $D(0; a; 0)$
- $A_1(0; 0; a)$
- $B_1(a; 0; a)$
Точка $O$ — центр грани $AA_1B_1B$, следовательно, она является серединой диагонали $A_1B$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $A_1$ и $B$:
$$ O = \left( \frac{0+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{a+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2} \right) $$Теперь найдем координаты векторов $\vec{OC}$ и $\vec{B_1D}$, соответствующих заданным прямым.
Координаты вектора $\vec{OC}$ равны разности координат его конца (точки $C$) и начала (точки $O$):
$$ \vec{OC} = \left\{ a - \frac{a}{2}; a - 0; 0 - \frac{a}{2} \right\} = \left\{ \frac{a}{2}; a; -\frac{a}{2} \right\} $$Координаты вектора $\vec{B_1D}$ равны разности координат его конца (точки $D$) и начала (точки $B_1$):
$$ \vec{B_1D} = \{ 0 - a; a - 0; 0 - a \} = \{ -a; a; -a \} $$Угол $\phi$ между прямыми $OC$ и $B_1D$ равен углу между векторами $\vec{OC}$ и $\vec{B_1D}$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:
$$ \cos\phi = \frac{|\vec{OC} \cdot \vec{B_1D}|}{|\vec{OC}| \cdot |\vec{B_1D}|} $$Сначала вычислим скалярное произведение векторов:
$$ \vec{OC} \cdot \vec{B_1D} = \left(\frac{a}{2}\right)(-a) + (a)(a) + \left(-\frac{a}{2}\right)(-a) = -\frac{a^2}{2} + a^2 + \frac{a^2}{2} = a^2 $$Поскольку скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, и его косинус будет равен косинусу угла между прямыми.
Теперь найдем длины (модули) векторов:
$$ |\vec{OC}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$$$ |\vec{B_1D}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} $$Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$$ \cos\phi = \frac{a^2}{\frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{a^2}{a^2 \frac{\sqrt{18}}{2}} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$Следовательно, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:
$$ \phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) $$Ответ: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 5.35 расположенного на странице 50 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №5.35 (с. 50), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.