Номер 5.48, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.48. Угол между скрещивающимися прямыми $p$ и $k$ равен $60^\circ$. Точки $A$ и $N$ принадлежат прямой $p$, а точки $B$ и $M$ — прямой $k$. Отрезок $MN$ является общим перпендикуляром прямых $p$ и $k$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $MN$, если известно, что $AN = NM = MB$.

Для решения задачи введем систему координат и воспользуемся векторным методом.

1. Введение системы координат.

Пусть длина отрезков $AN$, $NM$ и $MB$ равна $a$. То есть, $AN = NM = MB = a$.

Поскольку отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $p$ и $k$, разместим начало координат в точке $M$. Направим ось $Oz$ вдоль прямой $MN$. Тогда координаты точек $M$ и $N$ будут:

• $M(0, 0, 0)$
• $N(0, 0, a)$

Прямая $k$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна оси $Oz$ (прямой $MN$), следовательно, она лежит в плоскости $Oxy$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $k$.

Прямая $p$ проходит через точку $N$ и перпендикулярна оси $Oz$ (прямой $MN$), следовательно, она лежит в плоскости $z=a$ и параллельна плоскости $Oxy$.

Угол между скрещивающимися прямыми $p$ и $k$ равен $60°$. Так как прямая $k$ совпадает с осью $Ox$, а прямая $p$ параллельна плоскости $Oxy$, то угол между прямой $p$ и осью $Ox$ также равен $60°$. Направляющий вектор прямой $p$ можно задать как $\vec{d_p} = (\cos{60°}, \sin{60°}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

2. Нахождение координат точек A и B.

Точка $B$ лежит на прямой $k$ (оси $Ox$) и расстояние $MB = a$. Мы можем выбрать положительное направление, тогда координаты точки $B$ будут $B(a, 0, 0)$.

Точка $A$ лежит на прямой $p$ и расстояние $AN = a$. Положение точки $A$ относительно $N$ определяется вектором $\vec{AN}$, который коллинеарен направляющему вектору прямой $p$. Таким образом, $\vec{AN} = \pm a \cdot \vec{d_p}$. В зависимости от выбора знака возможны два различных геометрических расположения, что приведет к двум разным ответам. Рассмотрим один из возможных случаев.

Пусть векторы $\vec{AN}$ и $\vec{MB}$ образуют между собой угол $120°$. В нашей системе координат $\vec{MB} = (a, 0, 0)$. Чтобы угол между векторами был $120°$, вектор $\vec{AN}$ должен быть направлен "в противоположную сторону" от оси $Ox$ по сравнению с $\vec{d_p}$.

Выберем $\vec{AN} = -a \cdot \vec{d_p} = -a(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты точки $A$ находятся из соотношения $\vec{A} = \vec{N} - \vec{AN}$.

$\vec{A} = (0, 0, a) - (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.

Итак, мы имеем координаты всех ключевых точек:

• $A(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
• $B(a, 0, 0)$
• $M(0, 0, 0)$
• $N(0, 0, a)$

3. Нахождение угла между прямыми AB и MN.

Угол между прямыми находится как угол между их направляющими векторами. Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - a) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, -a)$.

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (0 - 0, 0 - 0, a - 0) = (0, 0, a)$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол. Косинус угла между векторами находится по формуле:

$\cos{\alpha} = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{MN}|}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{MN}||}$

Найдем скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{MN} = (\frac{a}{2} \cdot 0) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot 0) + (-a \cdot a) = -a^2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$||\vec{AB}|| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$||\vec{MN}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2} = a$.

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos{\alpha} = \frac{|-a^2|}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда находим угол:

$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45°$.

Примечание: если бы мы выбрали другой знак для вектора $\vec{AN}$, то есть $\vec{AN} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, то угол между векторами $\vec{AN}$ и $\vec{MB}$ был бы $60°$, а итоговый угол между прямыми $AB$ и $MN$ получился бы равным $60°$. Так как условие задачи не уточняет взаимное расположение точек $A$ и $B$ на своих прямых, задача имеет два решения. Однако, как правило, в таких задачах подразумевается один из вариантов.

Ответ: $45°$.