Номер 5.53, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.53. Плоские углы AOB, BOC и COA трёхгранного угла OABC соответственно равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \ge -\frac{3}{2}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть вершина трёхгранного угла $O$ находится в начале координат. Направим вдоль рёбер $OA, OB$ и $OC$ единичные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно. По определению, их длины (модули) равны единице:

$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$

Плоские углы $\alpha, \beta, \gamma$ являются углами между соответствующими парами этих векторов:

• $\angle AOB = \alpha$ - угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$
• $\angle BOC = \beta$ - угол между $\vec{b}$ и $\vec{c}$
• $\angle COA = \gamma$ - угол между $\vec{c}$ и $\vec{a}$

Используя определение скалярного произведения, мы можем выразить косинусы этих углов через скалярные произведения векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha = \cos \alpha$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \beta = \cos \beta$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \gamma = \cos \gamma$

Рассмотрим сумму векторов $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Квадрат длины любого вектора является неотрицательной величиной, то есть $|\vec{s}|^2 \ge 0$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, поэтому:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 \ge 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ единичные, их скалярные квадраты равны 1:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$

$\vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 = 1$

Подставим эти значения и выражения для косинусов в неравенство:

$1 + 1 + 1 + 2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \ge 0$

Упростим полученное выражение:

$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \ge 0$

Теперь выразим сумму косинусов:

$2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \ge -3$

$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \ge -\frac{3}{2}$

Таким образом, требуемое неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \ge -\frac{3}{2}$ доказано.