Номер 6.1, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A $(3; -1; 2)$ и перпендикулярной прямой BC, если:

1) B $(2; 0; -3)$, C $(4; -1; -5)$;

2) B $(6; -7; -2)$, C $(9; -5; 1)$.

Для того чтобы составить уравнение плоскости, необходимо знать координаты одной точки, через которую проходит плоскость, и координаты вектора нормали (перпендикулярного вектора) к этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию задачи, плоскость проходит через точку $A(3; -1; 2)$. Следовательно, $x_0 = 3$, $y_0 = -1$, $z_0 = 2$.

Плоскость перпендикулярна прямой $BC$. Это означает, что направляющий вектор прямой $BC$, то есть вектор $\vec{BC}$, является вектором нормали $\vec{n}$ для искомой плоскости. Координаты вектора $\vec{BC}$ находятся по формуле: $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)$.

1. Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{BC}$:
$\vec{n} = \vec{BC} = (4 - 2; -1 - 0; -5 - (-3)) = (2; -1; -2)$.
Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости: $A=2, B=-1, C=-2$.

2. Подставим координаты точки $A(3; -1; 2)$ и вектора нормали $\vec{n}=(2; -1; -2)$ в общее уравнение плоскости:
$2(x - 3) - 1(y - (-1)) - 2(z - 2) = 0$.

3. Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить общее уравнение плоскости:
$2(x - 3) - (y + 1) - 2(z - 2) = 0$
$2x - 6 - y - 1 - 2z + 4 = 0$
$2x - y - 2z - 3 = 0$.

Ответ: $2x - y - 2z - 3 = 0$.

1. Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{BC}$:
$\vec{n} = \vec{BC} = (9 - 6; -5 - (-7); 1 - (-2)) = (3; 2; 3)$.
Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости: $A=3, B=2, C=3$.

2. Подставим координаты точки $A(3; -1; 2)$ и вектора нормали $\vec{n}=(3; 2; 3)$ в общее уравнение плоскости:
$3(x - 3) + 2(y - (-1)) + 3(z - 2) = 0$.

3. Раскроем скобки и упростим выражение:
$3(x - 3) + 2(y + 1) + 3(z - 2) = 0$
$3x - 9 + 2y + 2 + 3z - 6 = 0$
$3x + 2y + 3z - 13 = 0$.

Ответ: $3x + 2y + 3z - 13 = 0$.