Номер 5.55, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.55. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника соответственно равны 6 см и 8 см. Найдите площадь данного четырёхугольника.

Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD соответственно.

Четырёхугольник MNPQ, образованный соединением середин сторон исходного четырёхугольника, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Его стороны являются средними линиями соответствующих треугольников:

В треугольнике ABC отрезок MN — средняя линия, следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.
В треугольнике ADC отрезок PQ — средняя линия, следовательно, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2} AC$.
В треугольнике BCD отрезок NP — средняя линия, следовательно, $NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2} BD$.
В треугольнике ABD отрезок MQ — средняя линия, следовательно, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2} BD$.

Подставим известные длины диагоналей $AC = 6$ см и $BD = 8$ см:
$MN = PQ = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
$NP = MQ = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника ABCD, — это MP и NQ. Эти отрезки являются диагоналями параллелограмма MNPQ. По условию задачи, эти отрезки равны: $MP = NQ$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, MNPQ — прямоугольник.

Площадь прямоугольника MNPQ равна произведению его смежных сторон:
$S_{MNPQ} = MN \cdot NP = 3 \cdot 4 = 12$ см².

Площадь четырёхугольника Вариньона (в данном случае MNPQ) равна половине площади исходного четырёхугольника ABCD.
$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$
Отсюда, $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MNPQ}$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot 12 = 24$ см².

Примечание: Так как параллелограмм MNPQ является прямоугольником, его стороны перпендикулярны. Поскольку стороны MNPQ параллельны диагоналям AC и BD, то и диагонали исходного четырёхугольника AC и BD перпендикулярны. Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения их длин: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Ответ: 24 см².