Номер 5.16, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.16. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точки $M, K$ и $P$ — соответственно середины рёбер $AB, AD$ и $CD$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{MK}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{PK}$ и $\vec{BC}$;

4) $\vec{CD}$ и $\vec{PM}$.

1) $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$
Скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ определяется формулой $\vec{AD} \cdot \vec{DC} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. Так как тетраэдр $DABC$ правильный, все его ребра равны $a$. Следовательно, $|\vec{AD}| = a$ и $|\vec{DC}| = a$. Грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками, поэтому все углы в них равны $60^\circ$. В частности, в треугольнике $ADC$ угол $\angle ADC = 60^\circ$. Угол между векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$, выходящими из одной точки $D$, равен $60^\circ$. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$. Поэтому угол $\theta$ между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Вычисляем скалярное произведение: $\vec{AD} \cdot \vec{DC} = a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

2) $\vec{MK}$ и $\vec{DA}$
Точки $M$ и $K$ — середины ребер $AB$ и $AD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, вектор $\vec{MK}$ параллелен вектору $\vec{BD}$ и равен его половине: $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Требуется найти скалярное произведение $\vec{MK} \cdot \vec{DA} = \left(\frac{1}{2}\vec{BD}\right) \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{BD} \cdot \vec{DA})$. Длины векторов $|\vec{BD}| = a$ и $|\vec{DA}| = a$. Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$, выходящими из точки $D$, равен $\angle BDA = 60^\circ$. Вектор $\vec{BD}$ противоположен вектору $\vec{DB}$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{BD}$ и $\vec{DA}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Находим скалярное произведение $\vec{BD} \cdot \vec{DA}$: $\vec{BD} \cdot \vec{DA} = |\vec{BD}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$. Теперь находим искомое скалярное произведение: $\vec{MK} \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{a^2}{2}\right) = -\frac{a^2}{4}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{4}$.

3) $\vec{PK}$ и $\vec{BC}$
Точки $P$ и $K$ — середины ребер $CD$ и $AD$ соответственно. Следовательно, отрезок $PK$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, вектор $\vec{PK}$ параллелен вектору $\vec{CA}$ и равен его половине: $\vec{PK} = \frac{1}{2}\vec{CA}$. Требуется найти скалярное произведение $\vec{PK} \cdot \vec{BC} = \left(\frac{1}{2}\vec{CA}\right) \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{CA} \cdot \vec{BC})$. Длины векторов $|\vec{CA}| = a$ и $|\vec{BC}| = a$. Угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, выходящими из точки $C$, равен $\angle ACB = 60^\circ$. Вектор $\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{CB}$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Находим скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{BC}$: $\vec{CA} \cdot \vec{BC} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$. Теперь находим искомое скалярное произведение: $\vec{PK} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{a^2}{2}\right) = -\frac{a^2}{4}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{4}$.

4) $\vec{CD}$ и $\vec{PM}$
Точка $P$ — середина ребра $CD$, а точка $M$ — середина ребра $AB$. Выразим вектор $\vec{PM}$ через векторы ребер тетраэдра. Для этого воспользуемся правилом нахождения вектора, соединяющего середины отрезков. Если взять произвольную точку $O$ в пространстве: $\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) - \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}(\vec{OA} - \vec{OD} + \vec{OB} - \vec{OC}) = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{CB})$. Теперь найдем скалярное произведение $\vec{CD} \cdot \vec{PM}$: $\vec{CD} \cdot \vec{PM} = \vec{CD} \cdot \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2}(\vec{CD} \cdot \vec{DA} + \vec{CD} \cdot \vec{CB})$. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. 1. Для $\vec{CD} \cdot \vec{DA}$: угол между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$ равен $60^\circ$. Вектор $\vec{CD}$ противоположен $\vec{DC}$, поэтому угол между $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $\vec{CD} \cdot \vec{DA} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$. 2. Для $\vec{CD} \cdot \vec{CB}$: оба вектора выходят из точки $C$. Угол между ними равен $\angle DCB = 60^\circ$. $\vec{CD} \cdot \vec{CB} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Подставляем найденные значения в исходное выражение: $\vec{CD} \cdot \vec{PM} = \frac{1}{2}\left(-\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Это также следует из известного свойства правильного тетраэдра: отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер, перпендикулярен этим ребрам.
Ответ: 0.