Номер 7.8, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.8. Диаметр основания цилиндра больше его высоты, а угол между диагоналями осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна $S$.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, диаметр основания как $d$ ($d=2r$) и высоту как $h$. Площадь основания $S$ и площадь боковой поверхности $S_{бок}$ связаны с этими параметрами следующими формулами:

$S = \pi r^2$

$S_{бок} = 2\pi r h = \pi d h$

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами $d$ и $h$. По условию, диаметр основания больше высоты, то есть $d > h$.

Диагонали этого прямоугольника пересекаются и образуют две пары равных равнобедренных треугольников. В одной паре треугольников основанием является сторона $d$, а в другой — сторона $h$. Углы при вершине этих треугольников — это углы между диагоналями. Пусть угол, противолежащий стороне $h$, равен $\gamma_h$, а угол, противолежащий стороне $d$, равен $\gamma_d$. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а $d > h$, то $\gamma_d > \gamma_h$. Поскольку $\gamma_d + \gamma_h = 180^\circ$, отсюда следует, что $\gamma_h$ — острый угол, а $\gamma_d$ — тупой.

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать острый угол. Следовательно, данный в условии угол $\alpha$ является острым углом между диагоналями: $\alpha = \gamma_h$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный диагоналями и стороной $h$ (которая является его основанием). Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$. Высота, проведенная из этой вершины к основанию $h$, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Длина этой высоты равна половине другой стороны прямоугольника, то есть $d/2$. Катет, противолежащий углу $\alpha/2$, равен $h/2$. Таким образом, мы можем записать тригонометрическое соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h/2}{d/2} = \frac{h}{d}$

Из этого соотношения выразим высоту $h$ через диаметр $d$:

$h = d \tan(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi d h = \pi d (d \tan(\frac{\alpha}{2})) = \pi d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$

Нам нужно выразить $S_{бок}$ через площадь основания $S$. Площадь основания равна $S = \pi r^2$. Выразим ее через диаметр $d=2r$:

$S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Отсюда выразим величину $\pi d^2$:

$\pi d^2 = 4S$

Наконец, подставим это в выражение для $S_{бок}$:

$S_{бок} = ( \pi d^2 ) \tan(\frac{\alpha}{2}) = 4S \tan(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $4S \tan(\frac{\alpha}{2})$