Номер 7.10, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.10. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $120^\circ$, а из центра верхнего основания — под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 6 см.

Для решения задачи необходимо последовательно найти радиус основания цилиндра $R$ и его высоту $H$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра (R)

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $AB$ — данная хорда, длина которой $AB = 6$ см. Рассмотрим треугольник $AO_1B$, образованный хордой и двумя радиусами $O_1A = O_1B = R$. Этот треугольник является равнобедренным.

По условию, угол, под которым видна хорда из центра нижнего основания, равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle AO_1B = 120^\circ$.

Применим к треугольнику $AO_1B$ теорему косинусов:

$AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 - 2 \cdot O_1A \cdot O_1B \cdot \cos(\angle AO_1B)$

Подставим известные значения:

$6^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -0.5$:

$36 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$36 = 2R^2 + R^2$

$36 = 3R^2$

$R^2 = 12$

$R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра (H)

Пусть $O_2$ — центр верхнего основания. По условию, хорду $AB$ видно из центра $O_2$ под углом $60^\circ$, то есть $\angle AO_2B = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AO_2B$. Отрезки $O_2A$ и $O_2B$ равны, так как они соединяют центр верхнего основания с концами хорды нижнего основания, которые равноудалены от оси цилиндра. Таким образом, треугольник $AO_2B$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$. Это означает, что треугольник $AO_2B$ — равносторонний, и все его стороны равны.

$O_2A = O_2B = AB = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1O_2A$. Его катетами являются радиус нижнего основания $O_1A = R$ и высота цилиндра $O_1O_2 = H$. Гипотенузой является отрезок $O_2A$.

По теореме Пифагора:

$O_1A^2 + O_1O_2^2 = O_2A^2$

$R^2 + H^2 = O_2A^2$

Подставим известные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $O_2A = 6$ см:

$(2\sqrt{3})^2 + H^2 = 6^2$

$12 + H^2 = 36$

$H^2 = 36 - 12 = 24$

$H = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R H$

Подставим найденные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $H = 2\sqrt{6}$ см в формулу:

$S_{бок} = 2 \pi \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6})$

$S_{бок} = 8 \pi \sqrt{3 \cdot 6} = 8 \pi \sqrt{18}$

Упростим полученное выражение:

$S_{бок} = 8 \pi \sqrt{9 \cdot 2} = 8 \pi \cdot 3\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $24\pi\sqrt{2}$ см$^2$.