Номер 7.11, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.11. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен 8 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. По условию, радиус основания $R = 8$ см. Следовательно, для решения задачи нам необходимо найти высоту $H$.

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $AB$ — данная хорда. В нижнем основании рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. Так как $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами, то $O_1A = O_1B = R = 8$ см. По условию, хорду видно из центра этого основания под углом $90^\circ$, значит $\angle AO_1B = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AO_1B$ — это прямоугольный равнобедренный треугольник. Длину хорды $AB$ можно найти по теореме Пифагора:

$AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

$AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$, где $O_2$ — центр верхнего основания. Этот треугольник равнобедренный, так как его боковые стороны $O_2A$ и $O_2B$ — это равные расстояния от точек $A$ и $B$ на окружности нижнего основания до центра верхнего основания. По условию, хорду видно из центра верхнего основания под углом $60^\circ$, то есть $\angle AO_2B = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, $O_2A = O_2B = AB = 8\sqrt{2}$ см.

Высоту цилиндра $H$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle O_1O_2A$. В этом треугольнике катет $O_1O_2$ — это высота цилиндра $H$, катет $O_1A$ — это радиус основания $R=8$ см, а гипотенуза $O_2A = 8\sqrt{2}$ см. Применим теорему Пифагора:

$O_2A^2 = O_1O_2^2 + O_1A^2$

$H^2 = O_2A^2 - O_1A^2 = (8\sqrt{2})^2 - 8^2 = 128 - 64 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Зная радиус $R = 8$ см и высоту $H = 8$ см, находим площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 8 \cdot 8 = 128\pi$ см².

Ответ: $128\pi$ см².