Номер 7.13, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.13. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\beta$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, равен $m$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ нам необходимо знать его радиус основания $R$ и высоту $H$. Формула площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi R H$.

1. Введем обозначения и рассмотрим прямоугольный треугольник.
Пусть $O_1$ — центр верхнего основания, а $O$ — центр нижнего основания. Тогда высота цилиндра $H = O_1O$.
Пусть $AB$ — хорда в нижнем основании, а $K$ — её середина. По условию, отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину хорды, равен $m$, то есть $O_1K = m$.
Этот отрезок образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией отрезка $O_1K$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OK$. Таким образом, угол между $O_1K$ и плоскостью основания — это $\angle O_1KO = \alpha$.
Так как $O_1O$ — перпендикуляр к плоскости основания, треугольник $\triangle O_1OK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

2. Найдем высоту цилиндра $H$ и расстояние $OK$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle O_1OK$ найдем катеты $O_1O$ и $OK$:
Высота цилиндра $H = O_1O = O_1K \cdot \sin(\angle O_1KO) = m \sin(\alpha)$.
Расстояние от центра основания до хорды $OK = O_1K \cdot \cos(\angle O_1KO) = m \cos(\alpha)$.

3. Найдем радиус основания $R$.
Рассмотрим нижнее основание. $OA$ и $OB$ — радиусы, равные $R$. Хорду $AB$ видно из центра $O$ под углом $\beta$, то есть $\angle AOB = \beta$.
Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный ($OA=OB=R$). Отрезок $OK$ является медианой, проведенной к основанию $AB$, а значит, он также является высотой и биссектрисой.
Следовательно, $\triangle AOK$ — прямоугольный ($\angle OKA = 90^\circ$), и $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{\beta}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle AOK$ имеем: $\cos(\angle AOK) = \frac{OK}{OA}$
$\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{OK}{R}$
Отсюда выразим радиус $R$: $R = \frac{OK}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Подставим найденное ранее значение $OK = m \cos(\alpha)$: $R = \frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

4. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.
Теперь у нас есть все необходимые величины для вычисления площади боковой поверхности:
$H = m \sin(\alpha)$
$R = \frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Подставим их в формулу $S_{бок} = 2 \pi R H$:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot \left(\frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}\right) \cdot (m \sin(\alpha)) = \frac{2 \pi m^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим окончательное выражение:
$S_{бок} = \frac{\pi m^2 \sin(2\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 \sin(2\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$