Номер 7.19, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.19. Радиус основания цилиндра равен 9 см. Из середины отрезка $OO_1$, где точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра, проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой от центра этого основания на 12 см.

Этот луч пересекает образующую цилиндра в точке, удалённой от плоскости нижнего основания на 2 см. Найдите высоту цилиндра.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, которое содержит заданный луч. Введем двумерную систему координат: ось $Oy$ направим вдоль оси цилиндра $OO_1$, а ось $Ox$ — по прямой в плоскости нижнего основания, содержащей проекцию луча.

В этой системе координат центр нижнего основания $O$ будет иметь координаты $(0, 0)$. Пусть искомая высота цилиндра равна $H$. Тогда центр верхнего основания $O_1$ имеет координаты $(0, H)$. Точка $M$, как середина отрезка $OO_1$, будет иметь координаты $M(0, H/2)$.

По условию, луч, проведенный из точки $M$, пересекает плоскость нижнего основания (в нашей системе — ось $Ox$) в точке $A$, удаленной от центра $O$ на 12 см. Таким образом, координаты точки $A$ — $(12, 0)$.

Этот же луч пересекает образующую цилиндра. В рассматриваемом сечении образующая представляет собой вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$ и отстоящую от нее на расстояние, равное радиусу основания, то есть 9 см. Уравнение этой прямой — $x=9$. Точка пересечения луча с этой образующей, обозначим ее $B$, удалена от плоскости нижнего основания на 2 см. Это значит, что ее ордината (координата по $y$) равна 2. Следовательно, координаты точки $B$ — $(9, 2)$.

Так как точки $M$, $B$ и $A$ лежат на одной прямой, мы можем использовать подобие треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Проведем из точки $M$ перпендикуляр к прямой $x=12$ (вертикальной прямой, проходящей через $A$), и пусть $P$ — основание этого перпендикуляра. Тогда $P$ имеет координаты $(12, H/2)$, и мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle APM$. Аналогично, проведем перпендикуляр из точки $B$ к прямой $x=12$, и пусть $Q$ — его основание. $Q$ имеет координаты $(12, 2)$, и мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle AQB$.

Треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQB$ подобны, так как они оба являются прямоугольными и имеют общий острый угол при вершине $A$. Из подобия следует пропорциональность их катетов:

$\frac{AP}{AQ} = \frac{MP}{QB}$

Найдем длины катетов, используя координаты точек:

$AP = |y_P - y_A| = |H/2 - 0| = H/2$

$AQ = |y_Q - y_A| = |2 - 0| = 2$

$MP = |x_P - x_M| = |12 - 0| = 12$

$QB = |x_Q - x_B| = |12 - 9| = 3$

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{H/2}{2} = \frac{12}{3}$

Упрощая, получаем:

$\frac{H}{4} = 4$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = 16$ см.

Ответ: 16 см.