Номер 7.17, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.17. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, удалённое от неё на $\sqrt{3}$ см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 10 см.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $h$, где $a$ — это хорда, отсекаемая сечением от окружности основания, а $h$ — высота цилиндра (и сечения). Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot h$.

1. Найдем ширину сечения $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Сечение отсекает хорду $AB$, которая стягивает дугу в $120°$. Пусть $O$ — центр окружности основания. Расстояние от оси цилиндра до сечения — это перпендикуляр $OK$, опущенный из центра $O$ на хорду $AB$. По условию, $OK = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности. Центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\angle AOB = 120°$.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OK$ является также биссектрисой и медианой. Следовательно, она делит угол $\angle AOB$ и сторону $AB$ пополам:$\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$. Мы знаем катет $OK = \sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle OAK$. Однако удобнее использовать угол $\angle AOK = 60°$. Катет $AK$ (половина хорды $AB$) можно найти через тангенс угла $\angle AOK$:$\tan(\angle AOK) = \frac{AK}{OK}$$AK = OK \cdot \tan(60°) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

Таким образом, ширина сечения $a$ равна длине хорды $AB$:$a = 2 \cdot AK = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Найдем высоту сечения $h$.

Сечение является прямоугольником со сторонами $a=6$ см и $h$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $d = 10$ см. Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю прямоугольника:$a^2 + h^2 = d^2$

Подставим известные значения:$6^2 + h^2 = 10^2$$36 + h^2 = 100$$h^2 = 100 - 36 = 64$$h = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Найдем площадь сечения $S$.

Теперь, зная обе стороны прямоугольного сечения ($a=6$ см и $h=8$ см), мы можем вычислить его площадь:$S = a \cdot h = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.