Номер 7.21, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.21. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi r$.

По условию задачи, эта развёртка является квадратом. Это означает, что стороны прямоугольника равны: $h = C$ $h = 2\pi r$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$.

Таким образом, мы имеем прямоугольник осевого сечения со сторонами $a = d = 2r$ и $b = h = 2\pi r$.

Нам нужно найти угол между диагоналями этого прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $\alpha$ — один из углов между диагоналями. Этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника, основанием которого является одна из сторон прямоугольника, а боковыми сторонами — половины диагоналей.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, основанием которого является сторона $a = 2r$. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, равна половине другой стороны прямоугольника, то есть $b/2 = (2\pi r)/2 = \pi r$.

Угол $\alpha$ при вершине этого треугольника можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания ($a/2=r$) и боковой стороной. Тангенс половины угла $\alpha$ равен отношению половины основания к высоте: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{b/2} = \frac{r}{\pi r} = \frac{1}{\pi}$

Отсюда получаем, что $\frac{\alpha}{2} = \arctan(\frac{1}{\pi})$, и сам угол $\alpha$ равен: $\alpha = 2 \arctan(\frac{1}{\pi})$

Это острый угол между диагоналями, так как $\frac{1}{\pi} < 1$, и следовательно $\arctan(\frac{1}{\pi}) < 45^\circ$, а $2\arctan(\frac{1}{\pi}) < 90^\circ$. Смежный с ним (тупой) угол будет равен $180^\circ - \alpha = 2\arctan(\pi)$. Обычно в таких задачах требуется найти острый угол.

Ответ: $2 \arctan(\frac{1}{\pi})$.