Номер 7.25, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.25. Точки $O$ и $O_1$ — соответственно центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка $A$ принадлежит окружности нижнего основания цилиндра, а точка $B$ — окружности верхнего основания. Угол между прямыми $OA$ и $O_1B$ равен $60^\circ$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $OO_1$, если диаметр основания цилиндра равен его высоте.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Точки $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований. $OA$ и $O_1B$ — радиусы оснований, следовательно, $OA = O_1B = R$. Прямая $OO_1$ является осью цилиндра и перпендикулярна его основаниям. Высота цилиндра $H = OO_1$. По условию, диаметр основания равен высоте, то есть $D = H$, или $2R = H$.

Нам нужно найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $OO_1$. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным.

Выполним параллельный перенос прямой $OO_1$ так, чтобы она прошла через точку $A$. Получим прямую $AA_1$, где $A_1$ — точка на окружности верхнего основания, лежащая на одной образующей с точкой $A$. Таким образом, $AA_1 \parallel OO_1$ и $AA_1 = H$. Искомый угол между прямыми $AB$ и $OO_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $AA_1$, то есть углу $\angle A_1AB$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Рассмотрим верхнее основание цилиндра. Прямая $OA$ лежит в плоскости нижнего основания, а прямая $O_1A_1$ — в плоскости верхнего. Так как $AA_1$ — образующая, то отрезок $O_1A_1$ является проекцией отрезка $OA$ на верхнее основание, значит, $OA \parallel O_1A_1$. По условию, угол между прямыми $OA$ и $O_1B$ равен $60^\circ$. Поскольку $OA \parallel O_1A_1$, угол между прямыми $O_1A_1$ и $O_1B$ также равен $60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1O_1B$ в плоскости верхнего основания. $O_1A_1 = R$ и $O_1B = R$ как радиусы. Угол между ними $\angle A_1O_1B = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны $R$, то есть $A_1B = R$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AA_1B$. Прямая $AA_1$ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна плоскости верхнего основания. Это значит, что $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A_1$. В частности, $AA_1 \perp A_1B$. Следовательно, $\triangle AA_1B$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AA_1B = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике нам нужно найти угол $\alpha = \angle A_1AB$. Мы знаем длины катетов:

• $AA_1 = H$ (высота цилиндра)
• $A_1B = R$ (как мы нашли ранее)

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\alpha) = \frac{A_1B}{AA_1} = \frac{R}{H}$

Используем условие, что $H = 2R$:$\tan(\alpha) = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$

Отсюда искомый угол $\alpha$ равен арктангенсу $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$