Номер 7.14, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.14. Вокруг какой из сторон прямоугольника, большей или меньшей, надо его вращать, чтобы получить цилиндр с большей площадью:

1) боковой поверхности;

2) полной поверхности?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Предположим, что $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая, то есть $a > b$.

Рассмотрим два случая получения цилиндра путем вращения этого прямоугольника.

• Случай 1: Вращение вокруг большей стороны $a$. Высота полученного цилиндра будет $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$.
• Случай 2: Вращение вокруг меньшей стороны $b$. Высота полученного цилиндра будет $h_2 = b$, а радиус основания $r_2 = a$.

1) боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Для первого случая (вращение вокруг стороны $a$):

$S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi b a$

Для второго случая (вращение вокруг стороны $b$):

$S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi a b$

Сравнивая полученные площади, мы видим, что $S_{бок1} = S_{бок2}$. Это означает, что площадь боковой поверхности будет одинаковой независимо от того, вокруг какой стороны (большей или меньшей) вращается прямоугольник.

Ответ: Площадь боковой поверхности будет одинаковой в обоих случаях.

2) полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(r+h)$.

Для первого случая (вращение вокруг стороны $a$):

$S_{полн1} = 2\pi r_1(r_1 + h_1) = 2\pi b(b+a) = 2\pi b^2 + 2\pi ab$

Для второго случая (вращение вокруг стороны $b$):

$S_{полн2} = 2\pi r_2(r_2 + h_2) = 2\pi a(a+b) = 2\pi a^2 + 2\pi ab$

Чтобы сравнить $S_{полн1}$ и $S_{полн2}$, вычтем одну из другой. Поскольку обе площади содержат одинаковое слагаемое $2\pi ab$ (площадь боковой поверхности), сравнение сводится к сравнению площадей двух оснований $2\pi r^2$.

В первом случае площадь оснований равна $2\pi b^2$.

Во втором случае площадь оснований равна $2\pi a^2$.

Так как по условию $a > b$, то $a^2 > b^2$, и, следовательно, $2\pi a^2 > 2\pi b^2$.

Таким образом, $S_{полн2} > S_{полн1}$. Это означает, что площадь полной поверхности будет больше, если вращать прямоугольник вокруг его меньшей стороны.

Ответ: Чтобы получить цилиндр с большей площадью полной поверхности, прямоугольник надо вращать вокруг его меньшей стороны.