Номер 7.12, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.12. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $a$.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра воспользуемся формулой $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Выразим $R$ и $H$ через известные из условия величины.

1. Найдем радиус основания R

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $AB$ — хорда в этом основании. По условию, угол, под которым хорда видна из центра, равен $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$. Треугольник $\triangle AO_1B$ равнобедренный, так как $O_1A$ и $O_1B$ — радиусы ($O_1A = O_1B = R$).

Расстояние от центра основания до хорды — это длина перпендикуляра $O_1M$, опущенного из точки $O_1$ на хорду $AB$. По условию, $O_1M = a$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AO_1B$ высота $O_1M$ является также биссектрисой угла $\angle AO_1B$, поэтому $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. В нем катет $O_1M = a$, гипотенуза $O_1A = R$ и прилежащий к катету угол $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{O_1M}{O_1A} = \frac{a}{R}$

Отсюда выражаем радиус основания:
$R = \frac{a}{\cos(\alpha/2)}$

2. Найдем высоту цилиндра H

Пусть $O_2$ — центр верхнего основания. Высота цилиндра $H = O_1O_2$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O_2$ с концом хорды $A$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этого отрезка $O_2A$ на плоскость нижнего основания является радиус $O_1A$. Таким образом, угол между отрезком $O_2A$ и его проекцией $O_1A$ равен $\beta$, то есть $\angle O_2AO_1 = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_2O_1A$. Он прямоугольный, так как высота $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и радиусу $O_1A$. Катетами являются высота $H = O_1O_2$ и радиус $R = O_1A$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{O_1O_2}{O_1A} = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту цилиндра:
$H = R \tan(\beta)$

Подставим в это выражение найденное ранее значение $R$:
$H = \frac{a}{\cos(\alpha/2)} \tan(\beta)$

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности, подставив выражения для $R$ и $H$ в формулу $S_{бок} = 2\pi R H$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{\cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{a \tan(\beta)}{\cos(\alpha/2)}\right)$

Упростив выражение, получим:
$S_{бок} = \frac{2\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Ответ: $\frac{2\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos^2(\alpha/2)}$