Страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.35. Вокруг цилиндрической колонны высотой 5 м и диаметром 1 м обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до верха колонны тремя полными витками. Найдите длину ленты.

Чтобы найти длину ленты, представим боковую поверхность цилиндра в виде развертки. Эта развертка будет представлять собой прямоугольник.

Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндрической колонны, то есть $h = 5$ м.

Ширина прямоугольника равна длине окружности основания колонны. Найдем длину окружности $C$ по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр основания.

$d = 1$ м, следовательно, $C = \pi \cdot 1 = \pi$ м.

Лента делает три полных витка, поднимаясь от основания до верха. На развертке путь ленты будет представлять собой диагональ (гипотенузу) прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника будут:

• Один катет — это высота колонны, $a = h = 5$ м.
• Второй катет — это расстояние, которое лента проходит вдоль окружности за три витка. Это утроенная длина окружности основания, $b = 3 \cdot C = 3\pi$ м.

Длину ленты $L$ найдем по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой этого прямоугольного треугольника:

$L^2 = a^2 + b^2$

Подставим значения катетов:

$L^2 = 5^2 + (3\pi)^2$

$L^2 = 25 + 9\pi^2$

$L = \sqrt{25 + 9\pi^2}$ м.

Ответ: $\sqrt{25 + 9\pi^2}$ м.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB$ и $BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, длина этой высоты $BH = h$, а угол между равными сторонами $∠ABC = \alpha$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Так как $BH$ — биссектриса угла $∠ABC$, то она делит этот угол пополам:

$∠ABH = ∠CBH = \frac{∠ABC}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Центр вписанной в треугольник окружности, назовем его $I$, является точкой пересечения биссектрис его углов. Поскольку $BH$ является биссектрисой, центр $I$ лежит на отрезке $BH$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из ее центра на любую из сторон треугольника. Таким образом, расстояние от точки $I$ до основания $AC$ равно радиусу, то есть $IH = r$. Тогда расстояние от вершины $B$ до центра вписанной окружности $I$ будет равно:

$BI = BH - IH = h - r$

Проведем радиус $IK$ из центра $I$ к боковой стороне $AB$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $IK \perp AB$. Длина отрезка $IK$ также равна радиусу вписанной окружности: $IK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKI$ (угол $∠BKI = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $BI = h - r$
• Катет $IK = r$
• Угол $∠IBK = ∠ABH = \frac{\alpha}{2}$

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем соотношение:

$\sin(∠IBK) = \frac{IK}{BI}$

Подставим в это уравнение известные нам выражения:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{h - r}$

Теперь выразим $r$ из этого уравнения. Для этого сначала умножим обе части на $(h - r)$:

$(h - r) \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r$

Раскроем скобки:

$h \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) - r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r$

Соберем все слагаемые, содержащие $r$, в одной части уравнения:

$h \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r + r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Вынесем $r$ за скобки:

$h \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Наконец, найдем $r$:

$r = \frac{h \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $r = \frac{h \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$

7.37. Основания трапеции равны 6 см и 27 см, а одна из боковых сторон — 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данную трапецию.

Пусть дана трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, а боковые стороны — как $c$ и $d$.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 27$ см, а одна из боковых сторон равна $c = 13$ см.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$a + b = c + d$

Подставим известные значения, чтобы найти длину второй боковой стороны $d$:

$6 + 27 = 13 + d$

$33 = 13 + d$

$d = 33 - 13 = 20$ см.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны $13$ см и $20$ см.

Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции $h$. Радиус $r$ этой окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2}$

Чтобы найти высоту трапеции, проведем из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 27$ см и $BC = 6$ см, и боковыми сторонами $AB = 13$ см и $CD = 20$ см. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из точек $B$ и $C$ на основание $AD$.

Получим прямоугольник $HBCK$, в котором $HK = BC = 6$ см, и два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Высота $BH = CK = h$.

Отрезки $AH$ и $KD$ вместе составляют разность длин оснований: $AH + KD = AD - HK = 27 - 6 = 21$ см.

Пусть $AH = x$, тогда $KD = 21 - x$.

Применим теорему Пифагора для обоих прямоугольных треугольников:

В $\triangle ABH$: $h^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$.

В $\triangle CDK$: $h^2 = CD^2 - KD^2 = 20^2 - (21-x)^2 = 400 - (441 - 42x + x^2)$.

Приравняем выражения для $h^2$, чтобы найти $x$:

$169 - x^2 = 400 - 441 + 42x - x^2$

$169 = -41 + 42x$

$169 + 41 = 42x$

$210 = 42x$

$x = \frac{210}{42} = 5$ см.

Теперь, когда мы нашли $x = AH = 5$ см, можем вычислить высоту $h$:

$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Высота трапеции равна $12$ см. Найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.