Страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую призму называют вписанной в цилиндр?

2. Чем для цилиндра являются боковые рёбра призмы, вписанной в цилиндр?

3. Какую призму можно вписать в цилиндр?

4. Какую призму называют описанной около цилиндра?

5. В каком случае говорят, что боковая грань призмы касается цилиндра?

6. Какую призму можно описать около цилиндра?

1. Какую призму называют вписанной в цилиндр?

Призму называют вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра. Это означает, что все вершины многоугольников, являющихся основаниями призмы, лежат на окружностях оснований цилиндра.

Ответ: Призма, у которой основаниями являются равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра.

2. Чем для цилиндра являются боковые рёбра призмы, вписанной в цилиндр?

Боковые рёбра вписанной призмы соединяют соответствующие вершины её оснований. Так как вершины оснований призмы лежат на окружностях оснований цилиндра, то отрезки, их соединяющие (боковые рёбра), лежат на боковой поверхности цилиндра и параллельны его оси. Такие отрезки на боковой поверхности цилиндра называются образующими.

Ответ: Боковые рёбра призмы, вписанной в цилиндр, являются образующими цилиндра.

3. Какую призму можно вписать в цилиндр?

В цилиндр можно вписать призму, если она является прямой (т.е. её боковые рёбра перпендикулярны основаниям), а в её основании лежит многоугольник, который можно вписать в окружность (такой многоугольник называют вписанным). Например, любой треугольник, прямоугольник или правильный многоугольник можно вписать в окружность.

Ответ: В цилиндр можно вписать любую прямую призму, в основании которой лежит многоугольник, который можно вписать в окружность.

4. Какую призму называют описанной около цилиндра?

Призму называют описанной около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра. Это означает, что основания цилиндра (круги) вписаны в основания призмы (многоугольники), а плоскости боковых граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.

Ответ: Призма, у которой основаниями являются равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра.

5. В каком случае говорят, что боковая грань призмы касается цилиндра?

Боковая грань призмы (являющаяся частью плоскости) касается цилиндра, если эта плоскость имеет с боковой поверхностью цилиндра только одну общую прямую. Эта прямая является образующей цилиндра. Такую плоскость называют касательной к цилиндру.

Ответ: Говорят, что боковая грань призмы касается цилиндра, если плоскость этой грани является касательной к боковой поверхности цилиндра (т.е. имеет с ней одну общую образующую).

6. Какую призму можно описать около цилиндра?

Около цилиндра можно описать призму, если она является прямой, а в её основании лежит многоугольник, в который можно вписать окружность (такой многоугольник называют описанным). Например, в любой треугольник, ромб или правильный многоугольник можно вписать окружность.

Ответ: Около цилиндра можно описать любую прямую призму, в основании которой лежит многоугольник, в который можно вписать окружность.

8.1. Основанием прямой призмы является четырёхугольник $ABCD$, у которого $\angle A = 36^{\circ}$, $\angle B = 123^{\circ}$, $\angle C = 144^{\circ}$, $\angle D = 57^{\circ}$. Можно ли описать цилиндр около этой призмы?

Цилиндр можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. В основании данной прямой призмы лежит четырехугольник $ABCD$.

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противолежащих углов были равны $180^\circ$.

Проверим выполнение этого условия для четырехугольника $ABCD$, у которого $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 123^\circ$, $\angle C = 144^\circ$, $\angle D = 57^\circ$.

Вычислим сумму углов $A$ и $C$:
$\angle A + \angle C = 36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.

Вычислим сумму углов $B$ и $D$:
$\angle B + \angle D = 123^\circ + 57^\circ = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов четырехугольника $ABCD$ равны $180^\circ$, около него можно описать окружность. Следовательно, около данной прямой призмы можно описать цилиндр.

Ответ: да, можно.

8.2. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна меньшему основанию. Можно ли вписать цилиндр в эту призму?

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание, которое является многоугольником, можно было вписать окружность. В этом случае основания цилиндра будут вписаны в основания призмы, а высота цилиндра будет равна высоте призмы.

Основанием данной прямой призмы является равнобокая трапеция. Пусть длины ее оснований равны $a$ и $c$, а длина боковых сторон — $b$. По условию, трапеция равнобокая, что означает равенство боковых сторон. Также дано, что боковая сторона равна меньшему основанию. Пусть $c$ — меньшее основание, тогда $b = c$.

В выпуклый четырехугольник (каковым является трапеция) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции с основаниями $a$, $c$ и боковыми сторонами $b$ это условие имеет вид: $a + c = b + b = 2b$

Подставим в это равенство условие из задачи, $b = c$: $a + c = 2c$

Выразим $a$ из этого уравнения: $a = 2c - c$ $a = c$

Мы получили, что для того, чтобы в заданную трапецию можно было вписать окружность, ее основания должны быть равны ($a=c$). Однако, по определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет. Это подразумевает, что длины оснований не равны ($a \neq c$). Если бы основания были равны, то фигура была бы параллелограммом. Учитывая, что $b=c$ и $a=c$, все стороны фигуры были бы равны, и она являлась бы ромбом.

Таким образом, условие возможности вписать окружность в данную трапецию ($a=c$) противоречит определению самой фигуры как трапеции (где $a \neq c$). Следовательно, в основание данной призмы нельзя вписать окружность.

Поскольку в основание призмы нельзя вписать окружность, то и в саму призму вписать цилиндр невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

8.3. Сумма боковых сторон трапеции, являющейся основанием прямой призмы, равна 16 см, а средняя линия трапеции — 7 см. Можно ли вписать цилиндр в эту призму?

Цилиндр можно вписать в прямую призму только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность. В данной задаче основанием призмы является трапеция.

Окружность можно вписать в трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$ и $d$. Условие возможности вписать окружность выглядит так:

$a + b = c + d$

Из условия задачи нам известна сумма боковых сторон:

$c + d = 16$ см.

Также нам дана средняя линия трапеции $m = 7$ см. Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:

$m = \frac{a + b}{2}$

Используя эту формулу, найдем сумму оснований трапеции:

$a + b = 2 \cdot m = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Теперь сравним сумму оснований с суммой боковых сторон:

$a + b = 14$ см

$c + d = 16$ см

Поскольку $14 \neq 16$, условие $a + b = c + d$ не выполняется. Это означает, что в данную трапецию нельзя вписать окружность. Следовательно, в призму, основанием которой является эта трапеция, нельзя вписать цилиндр.

Ответ: нет, нельзя.

8.4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно $a$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания. Формула в развернутом виде: $S_{полн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

По условию задачи, цилиндр описан около куба с ребром, равным $a$. Это означает, что куб находится внутри цилиндра. Высота цилиндра $H$ равна высоте (ребру) куба. Основания куба, являющиеся квадратами со стороной $a$, вписаны в круговые основания цилиндра.

1. Определение размеров цилиндра.
Высота цилиндра равна ребру куба: $H = a$.

Основание цилиндра — это круг, описанный около квадрата со стороной $a$. Диаметр этого круга $D$ равен диагонали $d$ вписанного квадрата. Найдем диагональ квадрата, используя теорему Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Диаметр круга $D = 2R$, следовательно, $2R = d = a\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус основания цилиндра: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Расчет площади полной поверхности.
Подставим найденные значения $H = a$ и $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ в формулу площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2 = 2 \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot a + 2 \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$.

Выполним вычисления: $S_{полн} = \pi a^2 \sqrt{2} + 2 \pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right)$ $S_{полн} = \pi a^2 \sqrt{2} + 2 \pi \left(\frac{a^2}{2}\right)$ $S_{полн} = \pi a^2 \sqrt{2} + \pi a^2$.

Вынесем общий множитель $\pi a^2$ за скобки для получения окончательного вида ответа: $S_{полн} = \pi a^2 (1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $\pi a^2 (1 + \sqrt{2})$.

8.5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, у которого стороны основания равны $a = 6$ см и $b = 8$ см, а высота $h_{пар} = 12$ см. Около этого параллелепипеда описан цилиндр.

Если цилиндр описан около прямоугольного параллелепипеда, то высота цилиндра $h_{цил}$ равна высоте параллелепипеда, а основание цилиндра представляет собой окружность, описанную около прямоугольного основания параллелепипеда.

1. Найдём высоту цилиндра.
Высота цилиндра равна высоте параллелепипеда: $h_{цил} = h_{пар} = 12$ см.

2. Найдём радиус основания цилиндра.
Основанием цилиндра является окружность, описанная около прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см. Диаметр этой окружности $d$ равен диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора найдём диагональ прямоугольника: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Найдём площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$ где $S_{осн}$ — площадь основания цилиндра, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h_{цил}$: $S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi$ см².

Теперь найдём площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot (25\pi) + 120\pi = 50\pi + 120\pi = 170\pi$ см².

Ответ: $170\pi$ см².

8.6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, диагональ которого равна $d = 12$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью основания цилиндра равен $\alpha = 30°$. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $d$, высотой $H$ и диаметром $D$. В этом треугольнике:

• Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $30°$, поэтому $H = d \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
• Диаметр $D$ является катетом, прилежащим к углу $30°$, поэтому $D = d \cdot \cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра ($H_{призмы} = H = 6$ см), а в основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности $R$ является радиусом описанной окружности для равностороннего треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника в основании призмы равна $a$. Связь между стороной правильного треугольника и радиусом описанной окружности выражается формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда найдем сторону $a$:
$a = R \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы $S_{бок.}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн.}$ на высоту призмы $H_{призмы}$.

Периметр основания призмы: $P_{осн.} = 3a = 3 \cdot 9 = 27$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot H_{призмы} = 27 \cdot 6 = 162$ см².

Ответ: $162$ см².

8.7. Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.

1. Нахождение диаметра основания цилиндра
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H = 6$ см и диаметру его основания $D$. Диагональ этого сечения, высота и диаметр образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания (то есть, углом между диагональю и диаметром) составляет $60^{\circ}$.
В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу в $60^{\circ}$, а диаметр $D$ — катетом, прилежащим к этому углу.
Используя определение тангенса, получаем:
$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{D}$
Подставим известные значения:
$\sqrt{3} = \frac{6}{D}$
Отсюда находим диаметр основания цилиндра:
$D = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение стороны основания правильной четырехугольной призмы
По условию, в цилиндр вписана правильная четырехугольная призма. Это означает, что в основании призмы лежит квадрат, и этот квадрат вписан в окружность основания цилиндра.
Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим сторону квадрата буквой $a$.
Диагональ квадрата $d_{кв}$ равна $D = 2\sqrt{3}$ см.
Связь между стороной квадрата и его диагональю выражается формулой $d_{кв} = a\sqrt{2}$.
$a\sqrt{2} = 2\sqrt{3}$
Выразим сторону квадрата $a$:
$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности призмы
Высота вписанной призмы $H_{пр}$ равна высоте цилиндра: $H_{пр} = H = 6$ см.
Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{пр}$
где $P_{осн}$ — периметр основания призмы.
Так как основание — квадрат со стороной $a = \sqrt{6}$ см, его периметр равен:
$P_{осн} = 4a = 4\sqrt{6}$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 4\sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{6}$ см$^2$.

8.8. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а диагональ боковой грани образует с боковым ребром призмы угол $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Сторона ее основания равна $a$. Цилиндр описан около этой призмы.

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = D \cdot H$, где $D$ – диаметр основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Найдем диаметр основания цилиндра $D$.
Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, его основание является окружностью, описанной около правильного шестиугольника (основания призмы).Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$, равен стороне этого шестиугольника. Следовательно, $R = a$. Диаметр основания цилиндра $D$ равен $2R$:$D = 2R = 2a$.

Найдем высоту цилиндра $H$.
Высота цилиндра $H$ совпадает с высотой призмы, то есть с длиной ее бокового ребра. Обозначим высоту призмы как $h$, тогда $H = h$. Рассмотрим боковую грань призмы, например, $ABB_1A_1$. Это прямоугольник со сторонами $AB = a$ и $AA_1 = h$. Диагональ боковой грани, например $A_1B$, образует с боковым ребром $AA_1$ угол $\alpha$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$):

• $AA_1 = h$ – прилежащий катет к углу $\alpha$.
• $AB = a$ – противолежащий катет к углу $\alpha$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$\tan(\alpha) = \frac{AB}{AA_1} = \frac{a}{h}$Выразим отсюда высоту $h$:$h = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cdot \cot(\alpha)$Таким образом, высота цилиндра $H = a \cot(\alpha)$.

Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра:$S_{сеч} = D \cdot H = (2a) \cdot (a \cot(\alpha)) = 2a^2 \cot(\alpha)$.

Ответ: $2a^2 \cot(\alpha)$.

8.9. Высота основания правильной треугольной призмы равна 9 см, а боковое ребро призмы — 4 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

По условию задачи, мы имеем правильную треугольную призму. Это означает, что в основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Высота основания (равностороннего треугольника) дана и равна $h_{осн} = 9$ см.

Боковое ребро призмы, которое также является ее высотой, равно $H_{пр} = 4$ см.

Вокруг этой призмы описан цилиндр. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра, а высота цилиндра равна высоте призмы.

Следовательно, высота цилиндра $H_{цил} = H_{пр} = 4$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании призмы. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности равен $2/3$ высоты треугольника.

Найдем радиус основания цилиндра:

$R = \frac{2}{3} h_{осн} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H_{цил}$ и его диаметр $D_{цил}$.

Диаметр основания цилиндра равен двум радиусам:

$D_{цил} = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь можем найти площадь осевого сечения $S_{сеч}$ как площадь прямоугольника:

$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = 12 \cdot 4 = 48$ см².

Ответ: 48 см².

8.10. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

8.10.

Дана правильная треугольная призма, в которую вписан цилиндр. Сторона основания призмы $a = 6$ см, а высота призмы $H = 5$ см. Требуется найти площадь боковой поверхности вписанного цилиндра $S_{бок}$.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2 \pi r h$,
где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

Поскольку цилиндр вписан в призму, его высота $h$ равна высоте призмы $H$.
$h = H = 5$ см.

Основание цилиндра представляет собой круг, который вписан в основание призмы. Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник. Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим в эту формулу значение стороны основания призмы $a = 6$ см, чтобы найти радиус основания цилиндра:
$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь, когда мы знаем радиус $r = \sqrt{3}$ см и высоту $h = 5$ см, мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 10\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $10\pi\sqrt{3}$ см².