Номер 8.7, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.7. Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.

1. Нахождение диаметра основания цилиндра
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H = 6$ см и диаметру его основания $D$. Диагональ этого сечения, высота и диаметр образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания (то есть, углом между диагональю и диаметром) составляет $60^{\circ}$.
В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу в $60^{\circ}$, а диаметр $D$ — катетом, прилежащим к этому углу.
Используя определение тангенса, получаем:
$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{D}$
Подставим известные значения:
$\sqrt{3} = \frac{6}{D}$
Отсюда находим диаметр основания цилиндра:
$D = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение стороны основания правильной четырехугольной призмы
По условию, в цилиндр вписана правильная четырехугольная призма. Это означает, что в основании призмы лежит квадрат, и этот квадрат вписан в окружность основания цилиндра.
Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим сторону квадрата буквой $a$.
Диагональ квадрата $d_{кв}$ равна $D = 2\sqrt{3}$ см.
Связь между стороной квадрата и его диагональю выражается формулой $d_{кв} = a\sqrt{2}$.
$a\sqrt{2} = 2\sqrt{3}$
Выразим сторону квадрата $a$:
$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности призмы
Высота вписанной призмы $H_{пр}$ равна высоте цилиндра: $H_{пр} = H = 6$ см.
Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{пр}$
где $P_{осн}$ — периметр основания призмы.
Так как основание — квадрат со стороной $a = \sqrt{6}$ см, его периметр равен:
$P_{осн} = 4a = 4\sqrt{6}$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 4\sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{6}$ см$^2$.