Номер 8.4, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно $a$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания. Формула в развернутом виде: $S_{полн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

По условию задачи, цилиндр описан около куба с ребром, равным $a$. Это означает, что куб находится внутри цилиндра. Высота цилиндра $H$ равна высоте (ребру) куба. Основания куба, являющиеся квадратами со стороной $a$, вписаны в круговые основания цилиндра.

1. Определение размеров цилиндра.
Высота цилиндра равна ребру куба: $H = a$.

Основание цилиндра — это круг, описанный около квадрата со стороной $a$. Диаметр этого круга $D$ равен диагонали $d$ вписанного квадрата. Найдем диагональ квадрата, используя теорему Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Диаметр круга $D = 2R$, следовательно, $2R = d = a\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус основания цилиндра: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Расчет площади полной поверхности.
Подставим найденные значения $H = a$ и $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ в формулу площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2 = 2 \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot a + 2 \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$.

Выполним вычисления: $S_{полн} = \pi a^2 \sqrt{2} + 2 \pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right)$ $S_{полн} = \pi a^2 \sqrt{2} + 2 \pi \left(\frac{a^2}{2}\right)$ $S_{полн} = \pi a^2 \sqrt{2} + \pi a^2$.

Вынесем общий множитель $\pi a^2$ за скобки для получения окончательного вида ответа: $S_{полн} = \pi a^2 (1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $\pi a^2 (1 + \sqrt{2})$.