Номер 8.8, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.8. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а диагональ боковой грани образует с боковым ребром призмы угол $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Сторона ее основания равна $a$. Цилиндр описан около этой призмы.

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = D \cdot H$, где $D$ – диаметр основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Найдем диаметр основания цилиндра $D$.
Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, его основание является окружностью, описанной около правильного шестиугольника (основания призмы).Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$, равен стороне этого шестиугольника. Следовательно, $R = a$. Диаметр основания цилиндра $D$ равен $2R$:$D = 2R = 2a$.

Найдем высоту цилиндра $H$.
Высота цилиндра $H$ совпадает с высотой призмы, то есть с длиной ее бокового ребра. Обозначим высоту призмы как $h$, тогда $H = h$. Рассмотрим боковую грань призмы, например, $ABB_1A_1$. Это прямоугольник со сторонами $AB = a$ и $AA_1 = h$. Диагональ боковой грани, например $A_1B$, образует с боковым ребром $AA_1$ угол $\alpha$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$):

• $AA_1 = h$ – прилежащий катет к углу $\alpha$.
• $AB = a$ – противолежащий катет к углу $\alpha$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$\tan(\alpha) = \frac{AB}{AA_1} = \frac{a}{h}$Выразим отсюда высоту $h$:$h = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cdot \cot(\alpha)$Таким образом, высота цилиндра $H = a \cot(\alpha)$.

Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра:$S_{сеч} = D \cdot H = (2a) \cdot (a \cot(\alpha)) = 2a^2 \cot(\alpha)$.

Ответ: $2a^2 \cot(\alpha)$.