Номер 8.19, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.19. Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, равна $m$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Поскольку в призму можно вписать цилиндр, то призма является прямой. Основания цилиндра — это окружности, вписанные в основания призмы (равнобедренные треугольники). Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы, а радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник в основании призмы.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$. Для решения задачи необходимо найти высоту $h$ и радиус $r$.

1. Нахождение высоты призмы и боковой стороны основания

Пусть основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Рассмотрим боковую грань, проходящую через боковую сторону $BC$. Это прямоугольник $BCC'B'$. Его диагональ $BC'$ по условию равна $m$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю $BC'$ и ее проекцией на плоскость основания, которой является сторона $BC$. Таким образом, угол $\angle C'BC = \beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $C'BC$ (угол $\angle BCC' = 90^\circ$, так как призма прямая). Высота призмы $h$ (она же высота цилиндра) является катетом $CC'$: $h = CC' = BC' \cdot \sin(\angle C'BC) = m \sin(\beta)$. Боковая сторона треугольника в основании, $BC$, является другим катетом: $BC = BC' \cdot \cos(\angle C'BC) = m \cos(\beta)$.

2. Нахождение радиуса окружности, вписанной в основание

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, можно найти несколькими способами. Обозначим боковую сторону $b = BC = m \cos(\beta)$, а основание $a = AC$. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она также является медианой и биссектрисой. Из прямоугольного треугольника $BHC$: $HC = BC \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$. Тогда основание $a = AC = 2 \cdot HC = 2b \cos(\alpha)$.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте (и биссектрисе) $BH$. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Тогда $OK \perp BC$ и $OK=r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$. Угол $\angle OCK$ равен половине угла $\angle BCA$, так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Следовательно, $\angle OCK = \frac{\alpha}{2}$. Длина отрезка $CK$ равна длине отрезка от вершины $C$ до точки касания с основанием $AC$, то есть до точки $H$. $CK = CH = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2} = b \cos(\alpha)$. Из треугольника $OKC$ находим радиус $r$: $r = OK = CK \cdot \tan(\angle OCK) = (b \cos(\alpha)) \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$. Подставим найденное ранее выражение для $b$: $r = (m \cos(\beta) \cos(\alpha)) \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = m \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $r$ и высоту $h$, мы можем найти площадь боковой поверхности вписанного цилиндра. $S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot (m \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})) \cdot (m \sin(\beta))$. $S_{бок} = 2 \pi m^2 \sin(\beta) \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$. Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta)$, упростим выражение: $S_{бок} = \pi m^2 \sin(2\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $\pi m^2 \sin(2\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.